Упр.361 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) $$\lg(x^2-8x+13)>0$$;
2) $$\log_{\frac{1}{5}}(x^2-5x+7)<0$$;
3) $$\log_2(x^2+2x)<3$$;
4) $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-5x-6)\geq-3$$.
1) $$\lg(x^2-8x+13)>0$$
Так как $$10>1,$$ то
$$x^2-8x+13>1,$$
$$x^2-8x+12>0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x-6\right)>0.$$
Отсюда
$$x<2 \text{ или } x>6.$$
Проверим область определения:
$$x^2-8x+13>0.$$
Корни уравнения $$x^2-8x+13=0$$:
$$D=64-52=12,$$
$$x_{1,2}=4\pm \sqrt{3}.$$
Следовательно, $$x^2-8x+13>0$$ при $$x<4-\sqrt{3}$$ или $$x>4+\sqrt{3}.$$
Пересечение с найденным решением даёт:
$$x<2 \text{ или } x>6.$$
2) $$\log_{\frac15}(x^2-5x+7)<0$$
Так как $$0<\frac15<1,$$ то
$$x^2-5x+7>1,$$
$$x^2-5x+6>0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x-3\right)>0.$$
Отсюда
$$x<2 \text{ или } x>3.$$
Проверка области определения:
$$x^2-5x+7>0.$$
У этого квадратного трёхчлена дискриминант
$$D=25-28=-3<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит, выражение положительно при всех $$x.$$
Итак,
$$x<2 \text{ или } x>3.$$
3) $$\log_2(x^2+2x)<3$$
Так как $$2>1,$$ то
$$x^2+2x<2^3=8,$$
$$x^2+2x-8<0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)<0,$$
откуда
$$-4<x<2.$$
С учётом области определения
$$x^2+2x>0,$$
$$x\left(x+2\right)>0,$$
получаем
$$x<-2 \text{ или } x>0.$$
Пересечение условий:
$$-4<x<-2 \text{ или } 0<x<2.$$
4) $$\log_{\frac12}(x^2-5x-6)\ge -3$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:
$$x^2-5x-6\le \left(\frac12\right)^{-3}=8,$$
$$x^2-5x-14\le 0,$$
$$\left(x+2\right)\left(x-7\right)\le 0,$$
откуда
$$-2\le x\le 7.$$
Но область определения задаётся условием
$$x^2-5x-6>0,$$
$$\left(x+1\right)\left(x-6\right)>0,$$
то есть
$$x<-1 \text{ или } x>6.$$
Пересечение даёт:
$$-2\le x<-1 \text{ или } 6<x\le 7.$$
Ответ
1) $$x<2,\ x>6.$$
2) $$x<2,\ x>3.$$
3) $$-4<x<-2,\ 0<x<2.$$
4) $$-2\le x<-1,\ 6<x\le 7.$$
