Упр.361 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) log1/5(x2 — 5x + 7) < 0; 3) log2 (x2 + 2x) < 3; 4) log1/2(x2 - 5x - 6) > = — 3.

Подробный ответ

$$\lg(x^2-8x+13)>0$$
Так как $$\lg 1=0,$$ то
$$x^2-8x+13>1,$$
$$x^2-8x+12>0.$$
Решим квадратное уравнение $$x^2-8x+12=0.$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}, \quad x_1=2,\; x_2=6.$$
Тогда
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>6.$$
Проверим область определения:
$$x^2-8x+13>0.$$
Корни уравнения $$x^2-8x+13=0$$:
$$D=8^2-4\cdot 13=12,$$
$$x=4\pm \sqrt{3}.$$
Следовательно, выражение определено при $$x<4-\sqrt{3}$$ или $$x>4+\sqrt{3}.$$
Пересечение с найденным решением даёт:
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>6.$$
$$\log_{\frac15}(x^2-5x+7)<0$$
Так как $$0<\frac15<1,$$ то
$$x^2-5x+7>1,$$
$$x^2-5x+6>0,$$
$$ (x-2)(x-3)>0.$$
Отсюда
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>3.$$
Проверка области определения:
$$x^2-5x+7>0.$$
Так как $$D=25-28=-3<0$$ и старший коэффициент положителен, то это неравенство выполняется при всех $$x.$$
$$\log_2(x^2+2x)<3$$
Так как $$2>1,$$ то
$$x^2+2x<2^3=8,$$
$$x^2+2x-8<0,$$
$$ (x+4)(x-2)<0,$$
откуда
$$-4<x<2.$$
Теперь учтём область определения:
$$x^2+2x>0,$$
$$x(x+2)>0,$$
значит
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>0.$$
Пересечение условий:
$$-4<x<-2 \quad \text{или} \quad 0<x<2.$$
$$\log_{\frac12}(x^2-5x-6)\ge -3$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$x^2-5x-6\le \left(\frac12\right)^{-3}=8,$$
$$x^2-5x-14\le 0.$$
Решим уравнение $$x^2-5x-14=0.$$
$$D=25+56=81,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 9}{2}, \quad x_1=-2,\; x_2=7.$$
Тогда
$$-2\le x\le 7.$$
Учитываем область определения:
$$x^2-5x-6>0,$$
$$ (x-6)(x+1)>0,$$
откуда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>6.$$
Пересечение условий:
$$-2\le x<-1 \quad \text{или} \quad 6<x\le 7.$$