Упр.360 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) log6 (x2 — 3x + 2) > 1;
3) log3 (x2 + 2x) > 1;
4) log2/3(x2-2,5x) < -1.
$$\log_8(x^2-4x+3)<1$$
Так как $$8>1$$, получаем:
$$x^2-4x+3<8$$
$$x^2-4x-5<0$$
$$ (x+1)(x-5)<0 $$
Отсюда $$-1<x<5$$.
Область определения:
$$x^2-4x+3>0$$
$$ (x-1)(x-3)>0 $$
$$x<1 \text{ или } x>3$$.
Пересекаем с найденным промежутком:
$$-1<x<1 \text{ или } 3<x<5$$.
$$\log_6(x^2-3x+2)\ge 1$$
Так как $$6>1$$, имеем:
$$x^2-3x+2\ge 6$$
$$x^2-3x-4\ge 0$$
$$ (x+1)(x-4)\ge 0 $$
Отсюда $$x\le -1 \text{ или } x\ge 4$$.
Проверим область определения:
$$x^2-3x+2>0$$
$$ (x-1)(x-2)>0 $$
$$x<1 \text{ или } x>2$$.
Пересечение даёт:
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 4$$.
$$\log_3(x^2+2x)>1$$
Так как $$3>1$$, получаем:
$$x^2+2x>3$$
$$x^2+2x-3>0$$
$$ (x+3)(x-1)>0 $$
Отсюда $$x<-3 \text{ или } x>1$$.
Область определения:
$$x^2+2x>0$$
$$x(x+2)>0$$
$$x<-2 \text{ или } x>0$$.
Пересечение не меняет ответ:
$$x<-3 \text{ или } x>1$$.
$$\log_{\frac23}(x^2-2{,}5x)<-1$$
Так как $$0<\frac23<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$x^2-2{,}5x>\left(\frac23\right)^{-1}$$
$$x^2-2{,}5x>\frac32$$
$$2x^2-5x-3>0$$
$$ (2x+1)(x-3)>0 $$
Отсюда $$x<-\frac12 \text{ или } x>3$$.
Область определения:
$$x^2-2{,}5x>0$$
$$x(x-2{,}5)>0$$
$$x<0 \text{ или } x>2{,}5$$.
Пересечение даёт:
$$x<-\frac12 \text{ или } x>3$$.
Ответ
1) $$x\in(-1;1)\cup(3;5)$$; 2) $$x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty)$$; 3) $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$; 4) $$x\in(-\infty;-\frac12)\cup(3;+\infty)$$.
