Упр.359 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

359 1) log5(3x-2)/(x2+1) > 0;
2) log1/2 (2×2+3)/(x-7) < 0; 3) lg (3х - 4) < lg (2х + 1); 4) log1/2(2х + 3) > log1/2(х +1).

1. $$\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0$$

   Так как $$5>1$$, то

   $$\frac{3x-2}{x^2+1}>1.$$

   Поскольку $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, получаем

   $$3x-2>x^2+1,$$

   $$x^2-3x+3<0.$$

   Но

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3<0,$$

   а старший коэффициент положителен, значит $$x^2-3x+3>0$$ при всех $$x$$.

   Следовательно, решений нет.

2. $$\log_{\frac12}\frac{2x^2+3}{x-7}<0$$

   Так как $$0<\frac12<1$$, то

   $$\frac{2x^2+3}{x-7}>1.$$

   Тогда

   $$2x^2+3>x-7,$$

   $$2x^2-x+10>0.$$

   Это неравенство верно при всех $$x$$, так как

   $$D= (-1)^2-4\cdot 2\cdot 10=1-80=-79<0.$$

   Остаётся учесть область определения:

   $$\frac{2x^2+3}{x-7}>0.$$

   Числитель всегда положителен, значит

   $$x-7>0,$$

   $$x>7.$$

3. $$\lg(3x-4)<\lg(2x+1)$$

   Так как основание логарифма $$10>1$$, то

   $$3x-4<2x+1.$$

   Кроме того, должны выполняться условия:

   $$3x-4>0,\qquad 2x+1>0.$$

   Из неравенства получаем

   $$x<5.$$

   Из области определения:

   $$x>\frac43,\qquad x>-\frac12.$$

   Итак,

   $$\frac43<x<5.$$

4. $$\log_{\frac12}(2x+3)>\log_{\frac12}(x+1)$$

   Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства меняется:

   $$2x+3<x+1.$$

   Отсюда

   $$x<-2.$$

   Но область определения задаётся условиями

   $$2x+3>0,\qquad x+1>0,$$

   то есть

   $$x>-\frac32,\qquad x>-1.$$

   Эти условия несовместимы с $$x<-2$$, значит решений нет.

Ответ

1) решений нет; 2) $$x>7$$; 3) $$\frac43<x<5$$; 4) решений нет.