Упр.358 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) У = log5 (х2 -4x + 3);
2) у = log6 (3х+2)/(1-x);
3) У = корень (lgx + lg(x + 2));
4) y = корень (lg(x-l) + lg(x+l)).

1. $$y=\log_5(x^2-4x+3)$$

   Логарифм определён, когда его аргумент положителен:

   $$x^2-4x+3>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x-3)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<1 \text{ или } x>3$$

2. $$y=\log_6 \frac{3x+2}{1-x}$$

   Аргумент логарифма должен быть положительным:

   $$\frac{3x+2}{1-x}>0$$

   Критические точки: $$x=-\frac{2}{3}$$ и $$x=1$$.

   Исследуем знак дроби. Получаем:

   $$-\frac{2}{3}<x<1$$

3. $$y=\sqrt{\lg x+\lg(x+2)}$$

   Для существования выражения нужно:

   $$x>0,\quad x+2>0,\quad \lg x+\lg(x+2)\ge 0$$

   Из первых двух условий достаточно $$x>0$$.

   Объединим логарифмы:

   $$\lg x+\lg(x+2)=\lg\bigl(x(x+2)\bigr)$$

   Тогда

   $$\lg\bigl(x(x+2)\bigr)\ge 0$$

   Так как основание логарифма 10 больше 1, получаем:

   $$x(x+2)\ge 1$$

   $$x^2+2x-1\ge 0$$

   Корни уравнения $$x^2+2x-1=0$$:

   $$x=-1\pm \sqrt2$$

   Тогда

   $$x\le -1-\sqrt2 \text{ или } x\ge -1+\sqrt2$$

   С учётом условия $$x>0$$ остаётся:

   $$x\ge \sqrt2-1$$

4. $$y=\sqrt{\lg(x-1)+\lg(x+1)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргументы логарифмов — положительными:

   $$x-1>0,\quad x+1>0,\quad \lg(x-1)+\lg(x+1)\ge 0$$

   Из первых двух условий получаем $$x>1$$.

   Сложим логарифмы:

   $$\lg(x-1)+\lg(x+1)=\lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=\lg(x^2-1)$$

   Тогда

   $$\lg(x^2-1)\ge 0$$

   Следовательно,

   $$x^2-1\ge 1$$

   $$x^2\ge 2$$

   $$x\le -\sqrt2 \text{ или } x\ge \sqrt2$$

   С учётом условия $$x>1$$ получаем:

   $$x\ge \sqrt2$$

Ответ

1) $$x<1$$ или $$x>3$$;

2) $$-\frac{2}{3}<x<1$$;

3) $$x\ge \sqrt2-1$$;

4) $$x\ge \sqrt2$$.