Упр.357 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1) $$\log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)<1$$;
2) $$\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+\log_{\frac{1}{3}}(12-x)\geq -2$$.
1) Рассмотрим неравенство $$\log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)<1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_{15}\bigl((x-3)(x-5)\bigr)<\log_{15}15.$$
Так как $$15>1,$$ получаем
$$(x-3)(x-5)<15.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-8x+15<15,$$
$$x^2-8x<0,$$
$$x(x-8)<0.$$
Отсюда
$$0<x<8.$$
С учётом области определения:
$$x-3>0,\quad x-5>0,$$
то есть $$x>5.$$
Пересечение условий даёт:
$$5<x<8.$$
2) Рассмотрим неравенство $$\log_{\frac13}(x-2)+\log_{\frac13}(12-x)\ge -2.$$
Запишем число $$-2$$ как логарифм:
$$-2=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-2}=\log_{\frac13}9.$$
Тогда
$$\log_{\frac13}\bigl((x-2)(12-x)\bigr)\ge \log_{\frac13}9.$$
Так как $$0<\frac13<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:
$$(x-2)(12-x)\le 9.$$
Раскроем скобки:
$$-x^2+14x-24\le 9,$$
$$x^2-14x+33\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=14^2-4\cdot 33=196-132=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{14\pm 8}{2},\quad x_1=3,\; x_2=11.$$
Тогда
$$(x-3)(x-11)\ge 0,$$
откуда
$$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 11.$$
С учётом области определения:
$$x-2>0,\quad 12-x>0,$$
то есть
$$2<x<12.$$
Пересечение с найденным решением даёт:
$$2<x\le 3 \quad \text{или} \quad 11\le x<12.$$
Ответ
1) $$5<x<8$$
2) $$2<x\le 3,\; 11\le x<12$$
