Упр.355 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 355. Решить неравенство:
   1) $$\log_3(x+2)<3$$;
   2) $$\log_8(4-2x)\geq 2$$;
   3) $$\log_3(x+1)<-2$$;
   4) $$\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\geq -2$$;
   5) $$\log_{\frac{1}{5}}(4-3x)\geq -1$$;
   6) $$\log_{\frac{2}{3}}(2-5x)<-2$$.

1) $$\log_3(x+2)<3$$

Так как $$3>1,$$ то

$$x+2<3^3=27,$$

$$x<25.$$

Область определения: $$x+2>0,$$ то есть $$x>-2.$$

Следовательно, $$-2<x<25.$$

2) $$\log_8(4-2x)\ge 2$$

Так как $$8>1,$$ то

$$4-2x\ge 8^2=64,$$

$$-2x\ge 60,$$

$$x\le -30.$$

Область определения: $$4-2x>0,$$ то есть $$x<2.$$

Итак, $$x\le -30.$$

3) $$\log_3(x+1)<-2$$

Так как $$3>1,$$ то

$$x+1<3^{-2}=\frac{1}{9},$$

$$x<-\frac{8}{9}.$$

Область определения: $$x+1>0,$$ то есть $$x>-1.$$

Следовательно, $$-1<x<-\frac{8}{9}.$$

4) $$\log_{\frac13}(x-1)\ge -2$$

Так как $$0<\frac13<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x-1\le \left(\frac13\right)^{-2}=9,$$

$$x\le 10.$$

Область определения: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$

Итак, $$1<x\le 10.$$

5) $$\log_{\frac15}(4-3x)\ge -1$$

Так как $$0<\frac15<1,$$ то

$$4-3x\le \left(\frac15\right)^{-1}=5,$$

$$-3x\le 1,$$

$$x\ge -\frac13.$$

Область определения: $$4-3x>0,$$ то есть $$x<\frac43.$$

Следовательно, $$-\frac13\le x<\frac43.$$

6) $$\log_{\frac23}(2-5x)<-2$$

Так как $$0<\frac23<1,$$ знак неравенства меняется:

$$2-5x>\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94,$$

$$-5x>\frac94-2=\frac14,$$

$$x<-\frac1{20}.$$

Область определения: $$2-5x>0,$$ то есть $$x<\frac25.$$

Итак, $$x<-\frac1{20}.$$

Ответ

1) $$-2<x<25$$; 2) $$x\le -30$$; 3) $$-1<x<-\frac89$$; 4) $$1<x\le 10$$; 5) $$-\frac13\le x<\frac43$$; 6) $$x<-\frac1{20}$$.