Упр.353 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти все значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$5\log_5(x)+\log_a(x)-4\log_{25}(x)=a$$ имеет корни.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$$5\log_5 x+\log_a x-4\log_{25}x=a.$$
Так как $$25=5^2,$$ то
$$\log_{25}x=\frac{\log_5 x}{\log_5 25}=\frac{\log_5 x}{2}.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$5\log_5 x+\frac{\log_5 x}{\log_5 a}-2\log_5 x=a.$$
Соберём подобные слагаемые:
$$3\log_5 x+\frac{\log_5 x}{\log_5 a}=a,$$
$$\log_5 x\left(3+\frac{1}{\log_5 a}\right)=a.$$
Отсюда
$$\log_5 x=\frac{a}{3+\frac{1}{\log_5 a}}=\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}.$$
Значит,
$$x=5^{\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}}.$$
Чтобы уравнение имело смысл, нужно:
- $$a>0,$$
- $$a\ne 1.$$
Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$3\log_5 a+1\ne 0,$$
$$\log_5 a\ne -\frac13,$$
$$a\ne 5^{-\frac13}.$$
При этих условиях получаем корень
$$x=5^{\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}}.$$
Ответ
$$a>0,\quad a\ne 1,\quad a\ne 5^{-\frac13}.$$
$$x=5^{\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}}.$$
