Упр.348 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение (348—352).
- 1) $$\log_2(x)-2\log_x(2)=-1$$; 2) $$\log_2(x)+\log_x(2)=2{,}5$$; 3) $$\log_3(x)+2\log_x(3)=3$$; 4) $$\log_3(x)-6\log_x(3)=1$$.
1) $$\log_2 x-2\log_x 2=-1$$
Так как $$\log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x},$$ получаем
$$\log_2 x-\dfrac{2}{\log_2 x}=-1.$$
Положим $$t=\log_2 x.$$ Тогда
$$t-\dfrac{2}{t}=-1,$$
$$t^2+t-2=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0.$$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=-2.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$
$$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2}=\dfrac14.$$
Оба значения подходят, так как $$x>0,\ x\ne1.$$
2) $$\log_2 x+\log_x 2=2{,}5$$
Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда $$\log_x 2=\dfrac{1}{t},$$ и
$$t+\dfrac{1}{t}=2{,}5.$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-5t+2=0,$$
$$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$
Следовательно, $$t=\dfrac12$$ или $$t=2.$$
Тогда
$$\log_2 x=\dfrac12 \Rightarrow x=\sqrt2,$$
$$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4.$$
Оба значения подходят.
3) $$\log_3 x+2\log_x 3=3$$
Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_x 3=\dfrac{1}{t},$$ и
$$t+\dfrac{2}{t}=3.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-3t+2=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=2.$$
Тогда
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3,$$
$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9.$$
Оба значения подходят.
4) $$\log_3 x-6\log_x 3=1$$
Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_x 3=\dfrac{1}{t},$$ и
$$t-\dfrac{6}{t}=1.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-t-6=0,$$
$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0.$$
Следовательно, $$t=3$$ или $$t=-2.$$
Тогда
$$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27,$$
$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\dfrac19.$$
Оба значения подходят.
Ответ
1) $$x=\dfrac14,\ 2$$; 2) $$x=\sqrt2,\ 4$$; 3) $$x=3,\ 9$$; 4) $$x=\dfrac19,\ 27$$.
