Упр.347 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}\lg x-\lg y=7,\\ \lg x+\lg y=5;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}\log_2(x)+\frac{1}{2}\log_2\left(\frac{1}{y}\right)=4,\\ xy=2.\end{cases}$$

Решение

1) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \lg x-\lg y=7,\\ \lg x+\lg y=5. \end{cases}$$

Сложим уравнения системы:

$$2\lg x=12,$$

откуда

$$\lg x=6,\qquad x=10^6.$$

Найдём $$y$$ из второго уравнения:

$$\lg x+\lg y=5,$$

$$6+\lg y=5,$$

$$\lg y=-1,\qquad y=10^{-1}.$$

Следовательно,

$$(x;y)=(10^6;10^{-1}).$$

2) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_2 x+\dfrac12\log_2\dfrac1y=4,\\ xy=2. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем:

$$y=\dfrac{2}{x}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\log_2 x+\dfrac12\log_2\frac{x}{2}=4.$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_2 x+\log_2\left(\frac{x}{2}\right)^{1/2}=4,$$

$$\log_2\left(x\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{1/2}\right)=4.$$

Тогда

$$x\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{1/2}=2^4=16.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2\cdot\frac{x}{2}=256,$$

$$x^3=512,$$

$$x=8.$$

Тогда

$$y=\frac{2}{8}=\frac14.$$

Следовательно,

$$(x;y)=\left(8;\frac14\right).$$

Ответ

1) $$(10^6;10^{-1})$$; 2) $$\left(8;\frac14\right)$$.