Упр.345 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение:

1. $$2^{3\lg x}\cdot 5^{\lg x}=1600$$

   $$\left(2^3\cdot 5\right)^{\lg x}=1600$$

   $$40^{\lg x}=40^2$$

   $$\lg x=2$$

   $$x=10^2=100$$

2. $$2^{\log_3 x^2}\cdot 5^{\log_3 x}=400$$

   $$2^{2\log_3 x}\cdot 5^{\log_3 x}=400$$

   $$\left(2^2\cdot 5\right)^{\log_3 x}=400$$

   $$20^{\log_3 x}=20^2$$

   $$\log_3 x=2$$

   $$x=3^2=9$$

3. $$\frac{1}{4+\lg x}+\frac{2}{2-\lg x}=1$$

   ОДЗ: $$4+\lg x\ne 0,\quad 2-\lg x\ne 0.$$

   Умножим на $$\left(4+\lg x\right)\left(2-\lg x\right):$$

   $$2-\lg x+2(4+\lg x)=(4+\lg x)(2-\lg x)$$

   $$10+\lg x=8-2\lg x-\lg^2 x$$

   $$\lg^2 x+3\lg x+2=0$$

   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда

   $$t^2+3t+2=0$$

   $$\left(t+1\right)\left(t+2\right)=0$$

   $$t=-1 \text{ или } t=-2$$

   Тогда

   $$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1$$

   $$\lg x=-2 \Rightarrow x=10^{-2}=0{,}01$$

4. $$\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}=1$$

   ОДЗ: $$5-\lg x\ne 0,\quad 1+\lg x\ne 0.$$

   Умножим на $$\left(5-\lg x\right)\left(1+\lg x\right):$$

   $$1+\lg x+2(5-\lg x)=(5-\lg x)(1+\lg x)$$

   $$11-\lg x=5+4\lg x-\lg^2 x$$

   $$\lg^2 x-5\lg x+6=0$$

   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда

   $$t^2-5t+6=0$$

   $$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0$$

   $$t=2 \text{ или } t=3$$

   Тогда

   $$\lg x=2 \Rightarrow x=10^2=100$$

   $$\lg x=3 \Rightarrow x=10^3=1000$$

Ответ

1) $$100$$; 2) $$9$$; 3) $$0{,}01$$ и $$0{,}1$$; 4) $$100$$ и $$1000$$.