Упр.344 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1) $$\log_4\bigl((x+2)(x+3)\bigr)+\log_4\frac{x-2}{x+3}=2$$
2. 1) $$\log_2\frac{x-1}{x+4}+\log_2\bigl((x-1)(x+3)\bigr)=2$$
3. 1) $$\log_3(x^2)-\log_3\frac{x}{x+6}=3$$
4. 1) $$\log_2\frac{x+4}{x}+\log_2(x^2)=2$$

1) $$\log_4((x+2)(x+3))+\log_4\frac{x-2}{x+3}=2$$

Объединим логарифмы:

$$\log_4\left((x+2)(x+3)\cdot \frac{x-2}{x+3}\right)=2$$

$$\log_4(x^2-4)=2$$

$$x^2-4=4^2=16$$

$$x^2=20$$

$$x=\pm 2\sqrt5$$

Проверка области допустимых значений показывает, что оба корня подходят.

Ответ: $$x=\pm 2\sqrt5$$

2) $$\log_2\frac{x-1}{x+4}+\log_2((x-1)(x+4))=2$$

$$\log_2\left(\frac{x-1}{x+4}\cdot (x-1)(x+4)\right)=2$$

$$\log_2(x-1)^2=2$$

$$(x-1)^2=2^2=4$$

$$x-1=\pm 2$$

$$x=3 \quad \text{или} \quad x=-1$$

По ОДЗ значение $$x=-1$$ не подходит, так как аргументы логарифмов должны быть положительными.

Ответ: $$x=3$$

3) $$\log_3 x^2-\log_3\frac{x}{x+6}=3$$

$$\log_3\left(x^2:\frac{x}{x+6}\right)=3$$

$$\log_3\bigl(x(x+6)\bigr)=3$$

$$x(x+6)=3^3=27$$

$$x^2+6x-27=0$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-27)=144$$

$$x=\frac{-6\pm 12}{2}$$

$$x_1=3,\quad x_2=-9$$

По ОДЗ подходит только $$x=3$$.

Ответ: $$x=3$$

4) $$\log_2\frac{x+4}{x}+\log_2 x^2=5$$

$$\log_2\left(\frac{x+4}{x}\cdot x^2\right)=5$$

$$\log_2(x^2+4x)=5$$

$$x^2+4x=2^5=32$$

$$x^2+4x-32=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-32)=144$$

$$x=\frac{-4\pm 12}{2}$$

$$x_1=4,\quad x_2=-8$$

По ОДЗ подходит только $$x=4$$.

Ответ: $$x=4$$