Упр.342 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   1. $$\begin{cases}\lg x-\lg y=2,\\x-10y-900\end{cases}$$
   2. $$\begin{cases}\log_3 x+\log_3 y=2,\\x^2y-2y+9=0\end{cases}$$

1) Из первого уравнения:

$$\lg x-\lg y=2$$

$$\lg \frac{x}{y}=2$$

$$\frac{x}{y}=10^2=100,$$

откуда $$x=100y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x-10y=900$$

$$100y-10y=900$$

$$90y=900,$$

$$y=10,$$

$$x=100\cdot 10=1000.$$

Ответ: $$(1000;\,10).$$

2) Из первого уравнения:

$$\log_3 x+\log_3 y=2$$

$$\log_3(xy)=\log_3 3^2$$

$$xy=9,$$

откуда $$x=\frac{9}{y}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2y-2y+9=0$$

$$\left(\frac{9}{y}\right)^2y-2y+9=0$$

$$\frac{81}{y}-2y+9=0.$$

Умножим на $$y$$:

$$81-2y^2+9y=0$$

$$2y^2-9y-81=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot(-81)=81+648=729,$$

$$y=\frac{9\pm 27}{4}.$$

Получаем:

$$y=9 \quad \text{или} \quad y=-\frac{9}{2}.$$

Так как $$x>0$$ и $$y>0,$$ подходит только $$y=9.$$ Тогда

$$x=\frac{9}{9}=1.$$

Ответ: $$(1;\,9).$$