Упр.342 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) система
lgx-lgy=2,
x-10y-900;
2) система
log3(x) + log3(y) =2,
x2y — 2y+9=0.

1. $$\begin{cases} \lg x-\lg y=2,\\ x-10y=900 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$\lg \frac{x}{y}=2,$$
   значит
   $$\frac{x}{y}=10^2=100,$$
   то есть
   $$x=100y.$$

   Подставим во второе уравнение:
   $$100y-10y=900,$$
   $$90y=900,$$
   $$y=10.$$
   Тогда
   $$x=100\cdot 10=1000.$$

   $$\begin{cases} x=1000,\\ y=10 \end{cases}$$

2. $$\begin{cases} \log_3 x+\log_3 y=2,\\ x^2y-2y+9=0 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$\log_3(xy)=2,$$
   значит
   $$xy=3^2=9.$$
   Тогда
   $$x=\frac{9}{y}.$$

   Подставим во второе уравнение:
   $$\left(\frac{9}{y}\right)^2y-2y+9=0,$$
   $$\frac{81}{y}-2y+9=0.$$
   Умножим на $$y$$:
   $$81-2y^2+9y=0,$$
   $$2y^2-9y-81=0.$$

   Решим квадратное уравнение:
   $$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot(-81)=81+648=729,$$
   $$y=\frac{9\pm 27}{4}.$$
   Получаем:
   $$y=9 \quad \text{или} \quad y=-\frac{9}{2}.$$

   Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, подходит только $$y=9$$. Тогда
   $$x=\frac{9}{9}=1.$$

Ответ

1) $$\left(1000;\,10\right)$$; 2) $$\left(1;\,9\right)$$.