Упр.341 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_7(x-1)\log_7(x)=\log_7(x)$$
2. $$\log_{\frac{1}{3}}(x)\log_{\frac{1}{3}}(3x-2)=\log_{\frac{1}{3}}(3x-2)$$
3. $$\log_2(3x+1)\log_3(x)=2\log_3(3x+1)$$
4. $$\log_{\sqrt{3}}(x-2)\log_5(x)=2\log_3(x-2)$$

1) Рассмотрим уравнение $$\log_7(x-1)\cdot \log_7 x=\log_7 x.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\log_7 x\bigl(\log_7(x-1)-1\bigr)=0.$$

Отсюда:

$$\log_7 x=0 \quad \text{или} \quad \log_7(x-1)=1.$$

1) $$\log_7 x=0 \Rightarrow x=1.$$ Но при $$x=1$$ логарифм $$\log_7(x-1)$$ не определён, значит, это значение не подходит.

2) $$\log_7(x-1)=1 \Rightarrow x-1=7 \Rightarrow x=8.$$

Проверка области определения: $$x>1$$, значит, $$x=8$$ подходит.

Ответ: $$8$$.

2) Рассмотрим уравнение $$\log_{\frac13}x\cdot \log_{\frac13}(3x-2)=\log_{\frac13}(3x-2).$$

Вынесем общий множитель:

$$\log_{\frac13}(3x-2)\bigl(\log_{\frac13}x-1\bigr)=0.$$

Следовательно,

$$\log_{\frac13}(3x-2)=0 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13}x=1.$$

1) $$\log_{\frac13}(3x-2)=0 \Rightarrow 3x-2=1 \Rightarrow x=1.$$

2) $$\log_{\frac13}x=1 \Rightarrow x=\frac13.$$

Но область определения: $$x>0$$ и $$3x-2>0 \Rightarrow x>\frac23.$$ Поэтому $$x=\frac13$$ не подходит.

Ответ: $$1$$.

3) Рассмотрим уравнение $$\log_2(3x+1)\cdot \log_3 x=2\log_2(3x+1).$$

Вынесем общий множитель:

$$\log_2(3x+1)\bigl(\log_3 x-2\bigr)=0.$$

Отсюда:

$$\log_2(3x+1)=0 \quad \text{или} \quad \log_3 x=2.$$

1) $$\log_2(3x+1)=0 \Rightarrow 3x+1=1 \Rightarrow x=0.$$

2) $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9.$$

Область определения: $$x>0$$ и $$3x+1>0$$, значит, $$x=9$$ подходит, а $$x=0$$ не подходит.

Ответ: $$9$$.

4) Рассмотрим уравнение $$\log_{\sqrt3}(x-2)\cdot \log_5 x=2\log_3(x-2).$$

Так как $$\sqrt3=3^{1/2}$$, то

$$\log_{\sqrt3}(x-2)=2\log_3(x-2).$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2\log_3(x-2)\cdot \log_5 x=2\log_3(x-2).$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$2\log_3(x-2)\bigl(\log_5 x-1\bigr)=0.$$

Следовательно,

$$\log_3(x-2)=0 \quad \text{или} \quad \log_5 x=1.$$

1) $$\log_3(x-2)=0 \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3.$$

2) $$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5.$$

Область определения: $$x-2>0$$ и $$x>0$$, то есть $$x>2.$$ Оба найденных значения подходят.

Ответ: $$3; 5$$.