Упр.339 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{1}{2}\lg(x^2+x-5)=\lg(5x)+\lg\frac{1}{5x}$$
2. $$\frac{1}{2}\lg(x^2-4x-1)=\lg(8x)-\lg(4x)$$

1) $$\frac12\lg(x^2+x-5)=\lg(5x)+\lg\frac1{5x}$$

Используем свойства логарифмов:

$$\lg\sqrt{x^2+x-5}=\lg\left(5x\cdot\frac1{5x}\right)=\lg 1$$

$$\sqrt{x^2+x-5}=1$$

$$x^2+x-5=1$$

$$x^2+x-6=0$$

$$D=1+24=25$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=-3$$

С учётом области допустимых значений $$5x>0$$, то есть $$x>0$$, подходит только $$x=2$$.

Проверка:

$$\frac12\lg(2^2+2-5)=\lg(5\cdot 2)+\lg\frac1{5\cdot 2}$$

$$\frac12\lg 1=\lg 10+\lg\frac1{10}$$

$$0=1+(-1)$$

Равенство верно.

2) $$\frac12\lg(x^2-4x-1)=\lg(8x)-\lg(4x)$$

Преобразуем правую часть:

$$\lg(8x)-\lg(4x)=\lg\frac{8x}{4x}=\lg 2$$

Тогда

$$\lg\sqrt{x^2-4x-1}=\lg 2$$

$$\sqrt{x^2-4x-1}=2$$

$$x^2-4x-1=4$$

$$x^2-4x-5=0$$

$$D=16+20=36$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}$$

$$x_1=5,\quad x_2=-1$$

По области допустимых значений $$8x>0$$ и $$4x>0$$, значит $$x>0$$. Подходит только $$x=5$$.

Проверка:

$$\frac12\lg(5^2-4\cdot 5-1)=\lg(8\cdot 5)-\lg(4\cdot 5)$$

$$\frac12\lg 4=\lg 40-\lg 20$$

$$\lg 2=\lg 2$$

Равенство верно.

Ответ: 1) $$x=2$$; 2) $$x=5$$.