Упр.339 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 1/2lg(x2-4x-1) = lg(8x) — lg(4x).

1. $$\frac12\lg(x^2+x-5)=\lg(5x)+\lg\frac1{5x}$$

   Используем свойство логарифмов:
   $$\lg(5x)+\lg\frac1{5x}=\lg\left(5x\cdot\frac1{5x}\right)=\lg 1=0.$$
   Тогда
   $$\frac12\lg(x^2+x-5)=0,$$
   откуда
   $$\lg(x^2+x-5)=0,$$
   $$x^2+x-5=1.$$

   Получаем уравнение
   $$x^2+x-6=0,$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=2,\quad x_2=-3.$$

   Проверим область допустимых значений: $$5x>0,$$ значит $$x>0.$$
   Подходит только $$x=2.$$

2. $$\frac12\lg(x^2-4x-1)=\lg(8x)-\lg(4x)$$

   Преобразуем правую часть:
   $$\lg(8x)-\lg(4x)=\lg\frac{8x}{4x}=\lg 2.$$
   Тогда
   $$\frac12\lg(x^2-4x-1)=\lg 2,$$
   $$\lg\sqrt{x^2-4x-1}=\lg 2,$$
   $$\sqrt{x^2-4x-1}=2.$$

   Возводим в квадрат:
   $$x^2-4x-1=4,$$
   $$x^2-4x-5=0.$$
   Найдём корни:
   $$D=16+20=36,$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$
   Получаем
   $$x_1=5,\quad x_2=-1.$$

   По области допустимых значений: $$8x>0$$ и $$4x>0,$$ значит $$x>0.$$
   Подходит только $$x=5.$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=5$$.