Упр.338 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\lg(x-1)-\lg(2x-11)=\lg 2$$
2. $$\lg(3x-1)-\lg(x+5)-\lg 5$$
3. $$\log_3(x^3-x)-\log_3(x)=\log_3(3)$$

1) $$\lg(x-1)-\lg(2x-11)=\lg 2$$

По свойству логарифмов:

$$\lg\frac{x-1}{2x-11}=\lg 2$$

Тогда

$$\frac{x-1}{2x-11}=2$$

$$x-1=2(2x-11)$$

$$x-1=4x-22$$

$$3x=21$$

$$x=7$$

Проверим область допустимых значений:

$$x-1>0,\quad 2x-11>0$$

$$x>1,\quad x>5{,}5$$

Значение $$x=7$$ подходит.

2) $$\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg 5$$

$$\lg\frac{3x-1}{x+5}=\lg 5$$

$$\frac{3x-1}{x+5}=5$$

$$3x-1=5(x+5)$$

$$3x-1=5x+25$$

$$-2x=26$$

$$x=-13$$

Проверим ОДЗ:

$$3x-1>0,\quad x+5>0$$

$$x>\frac13,\quad x>-5$$

Число $$x=-13$$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, решений нет.

3) $$\log_3(x^3-x)-\log_3 x=\log_3 3$$

$$\log_3\frac{x^3-x}{x}=\log_3 3$$

$$\frac{x^3-x}{x}=3$$

$$x^2-1=3$$

$$x^2=4$$

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-2$$

Проверим ОДЗ:

$$x>0,\quad x^3-x>0$$

При $$x>0$$ имеем

$$x(x-1)(x+1)>0$$

Отсюда $$x>1$$.

Из найденных корней подходит только $$x=2$$.

Ответ

1) $$x=7$$; 2) решений нет; 3) $$x=2$$.