Упр.337 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

337 1) log2 (х — 5) + log2 (х + 2) = 3;
2) log3 (x — 2) + log3 (x + 6) = 2;
3) lg (x + корень 3) + lg (x- корень 3) = 0;
4) lg (x — 1) + lg (x + 1) = 0.

Подробный ответ

$$\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3$$
$$\log_2\bigl((x-5)(x+2)\bigr)=3$$
$$\log_2\bigl((x-5)(x+2)\bigr)=\log_2 8$$
$$ (x-5)(x+2)=8 $$
$$x^2-3x-10=8$$
$$x^2-3x-18=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-18)=81$$
$$x=\frac{3\pm 9}{2}$$
$$x_1=6,\quad x_2=-3$$
Проверяем ОДЗ: $$x-5>0,\ x+2>0,$$ значит $$x>5.$$
Подходит только $$x=6.$$
$$\log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2$$
$$\log_3\bigl((x-2)(x+6)\bigr)=2$$
$$\log_3\bigl((x-2)(x+6)\bigr)=\log_3 9$$
$$ (x-2)(x+6)=9 $$
$$x^2+4x-12=9$$
$$x^2+4x-21=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-21)=100$$
$$x=\frac{-4\pm 10}{2}$$
$$x_1=3,\quad x_2=-7$$
По ОДЗ: $$x-2>0,\ x+6>0,$$ значит $$x>2.$$
Подходит только $$x=3.$$
$$\lg(x+\sqrt{3})+\lg(x-\sqrt{3})=0$$
$$\lg\bigl((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\bigr)=0$$
$$\lg\bigl((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\bigr)=\lg 1$$
$$ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=1 $$
$$x^2-3=1$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
По ОДЗ: $$x+\sqrt{3}>0,\ x-\sqrt{3}>0,$$ значит $$x>\sqrt{3}.$$
Подходит только $$x=2.$$
$$\lg(x-1)+\lg(x+1)=0$$
$$\lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=0$$
$$\lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=\lg 1$$
$$ (x-1)(x+1)=1 $$
$$x^2-1=1$$
$$x^2=2$$
$$x=\pm \sqrt{2}$$
По ОДЗ: $$x-1>0,\ x+1>0,$$ значит $$x>1.$$
Подходит только $$x=\sqrt{2}.$$