Упр.337 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 337. Решить уравнения:
   1) $$\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3$$;
   2) $$\log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2$$;
   3) $$\lg(x+\sqrt{3})+\lg(x-\sqrt{3})=0$$;
   4) $$\lg(x-1)+\lg(x+1)=0$$.

1) $$\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3$$

По свойству логарифмов:

$$\log_2\bigl((x-5)(x+2)\bigr)=3$$

$$(x-5)(x+2)=2^3=8$$

$$x^2-3x-10=8$$

$$x^2-3x-18=0$$

$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-18)=81$$

$$x=\frac{3\pm 9}{2}$$

$$x_1=6,\quad x_2=-3$$

Проверим ОДЗ: $$x-5>0,\; x+2>0 \Rightarrow x>5.$$

Подходит только $$x=6.$$

2) $$\log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2$$

$$\log_3\bigl((x-2)(x+6)\bigr)=2$$

$$(x-2)(x+6)=3^2=9$$

$$x^2+4x-12=9$$

$$x^2+4x-21=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-21)=100$$

$$x=\frac{-4\pm 10}{2}$$

$$x_1=3,\quad x_2=-7$$

ОДЗ: $$x-2>0,\; x+6>0 \Rightarrow x>2.$$

Подходит только $$x=3.$$

3) $$\lg(x+\sqrt{3})+\lg(x-\sqrt{3})=0$$

$$\lg\bigl((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\bigr)=0$$

$$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=1$$

$$x^2-3=1$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

ОДЗ: $$x+\sqrt{3}>0,\; x-\sqrt{3}>0 \Rightarrow x>\sqrt{3}.$$

Подходит только $$x=2.$$

4) $$\lg(x-1)+\lg(x+1)=0$$

$$\lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=0$$

$$(x-1)(x+1)=1$$

$$x^2-1=1$$

$$x^2=2$$

$$x=\pm \sqrt{2}$$

ОДЗ: $$x-1>0,\; x+1>0 \Rightarrow x>1.$$

Подходит только $$x=\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$6$$; 2) $$3$$; 3) $$2$$; 4) $$\sqrt{2}$$.