Упр.336 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Установить, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения:
- $$x-3=0$$ и $$x^2-5x+6=0$$;
- $$|x|=5$$ и $$\sqrt{x^2}=5$$;
- $$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=0$$ и $$x^2-3x+2=0$$;
- $$\log_8 x+\log_8(x-2)=1$$ и $$\log_8\bigl(x(x-2)\bigr)=1$$.
1) $$x-3=0 \quad \text{и} \quad x^2-5x+6=0$$
Решим первое уравнение:
$$x-3=0,\quad x=3.$$
Решим второе уравнение:
$$x^2-5x+6=0$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$
Первое уравнение имеет только корень $$x=3,$$ а второе — корни $$x=2$$ и $$x=3.$$ Значит, второе уравнение является следствием первого.
2) $$|x|=5 \quad \text{и} \quad \sqrt{x^2}=5$$
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ то оба уравнения равносильны. Следовательно, каждое из них является следствием другого.
3) $$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=0 \quad \text{и} \quad x^2-3x+2=0$$
Решим уравнение
$$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=0.$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-3x+2=0,\quad x-1\ne 0.$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$$
Тогда
$$(x-1)(x-2)=0,\quad x\ne 1,$$
откуда $$x=2.$$
Уравнение $$x^2-3x+2=0$$ имеет корни $$x=1$$ и $$x=2.$$ Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
4) $$\log_8 x+\log_8(x-2)=1 \quad \text{и} \quad \log_8\bigl(x(x-2)\bigr)=1$$
По свойству логарифмов:
$$\log_8 x+\log_8(x-2)=\log_8\bigl(x(x-2)\bigr).$$
Значит, первое уравнение можно записать в виде
$$\log_8\bigl(x(x-2)\bigr)=1,$$
то есть второе уравнение является следствием первого. С учётом области определения $$x>2$$ оба уравнения равносильны.
Ответ: 1) второе; 2) каждое из них; 3) второе; 4) второе.
