Упр.334 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:
- $$y=|\log_3 x|$$;
- $$y=\log_3|x|$$;
- $$y=\log_2|3-x|$$;
- $$y=|1-\log_2 x|$$.
1) Рассмотрим функцию $$y=|\log_3 x|.$$
Так как логарифм определён только при $$x>0,$$ то
$$D(x)=(0;+\infty).$$
Значения логарифма могут быть любыми, а модуль делает их неотрицательными, значит
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает при $$x>0$$, поэтому после взятия модуля получаем:
$$\text{убывает на }(0;1), \qquad \text{возрастает на }(1;+\infty).$$
2) Рассмотрим функцию $$y=\log_3|x|.$$
Для существования логарифма нужно $$|x|>0,$$ то есть $$x\neq 0.$$ Поэтому
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Так как при $$|x|$$ можно получить любое положительное число, то
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция убывает, а на $$(0;+\infty)$$ возрастает:
$$\text{убывает на }(-\infty;0), \qquad \text{возрастает на }(0;+\infty).$$
3) Рассмотрим функцию $$y=\log_2|3-x|.$$
Для существования логарифма нужно
$$|3-x|>0,$$
то есть $$x\neq 3.$$ Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
Множество значений логарифмической функции:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
При $$x<3$$ выражение $$|3-x|=3-x$$ убывает, а при $$x>3$$ выражение $$|3-x|=x-3$$ возрастает. Так как основание $$2>1,$$ то
$$\text{возрастает на }(3;+\infty), \qquad \text{убывает на }(-\infty;3).$$
4) Рассмотрим функцию $$y=|1-\log_2 x|.$$
Логарифм определён при $$x>0,$$ значит
$$D(x)=(0;+\infty).$$
Модуль даёт неотрицательные значения, поэтому
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Найдём, где выражение под модулем меняет знак:
$$1-\log_2 x=0 \iff \log_2 x=1 \iff x=2.$$
Так как $$\log_2 x$$ возрастает, то $$1-\log_2 x$$ убывает. Следовательно,
$$\text{убывает на }(0;2), \qquad \text{возрастает на }(2;+\infty).$$
Ответ
1) $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty);$$ убывает на $$(0;1),$$ возрастает на $$(1;+\infty).$$
2) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty);$$ убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;+\infty).$$
3) $$D(x)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty);$$ убывает на $$(-\infty;3),$$ возрастает на $$(3;+\infty).$$
4) $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty);$$ убывает на $$(0;2),$$ возрастает на $$(2;+\infty).$$
