Упр.332 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

а) $$y=\log_3(x-1)$$; б) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(x+1)$$; в) $$y=1+\log_3(x)$$; г) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$$; д) $$y=1+\log_3(x-1)$$.

Подробный ответ

Для логарифмической функции $$y=\log_a x$$ при $$a>0,\ a\ne 1$$ область определения задаётся условием положительности аргумента, а множество значений равно $$\mathbb{R}$$.

$$y=\log_3(x-1)$$
Требуем, чтобы аргумент логарифма был положительным:
$$x-1>0,\quad x>1.$$
Значит, $$D(x)=(1;+\infty).$$
Так как основание $$3>1$$, график функции $$y=\log_3 x$$ возрастает, а график $$y=\log_3(x-1)$$ получается сдвигом вправо на 1. Множество значений не изменяется:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=\log_{\frac13}(x+1)$$
Область определения:
$$x+1>0,\quad x>-1.$$
Следовательно, $$D(x)=(-1;+\infty).$$
Так как $$0<\frac13<1$$, функция убывает. Множество значений логарифмической функции по-прежнему равно:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=1+\log_3 x$$
Область определения:
$$x>0.$$
Значит, $$D(x)=(0;+\infty).$$
Прибавление 1 к значению функции сдвигает график вверх на 1, а множество значений остаётся всем множеством действительных чисел:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=\log_{\frac13}x-1$$
Область определения:
$$x>0.$$
Следовательно, $$D(x)=(0;+\infty).$$
Сдвиг графика вниз на 1 не меняет множество значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=1+\log_3(x-1)$$
Область определения:
$$x-1>0,\quad x>1.$$
Значит, $$D(x)=(1;+\infty).$$
График получается сдвигом вправо на 1 и вверх на 1, поэтому множество значений остаётся:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ:

1) $$D(x)=(1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty);$$
2) $$D(x)=(-1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty);$$
3) $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty);$$
4) $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty);$$
5) $$D(x)=(1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty).$$