Упр.330 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сравнить значения выражений:

1. 1. $$\frac{1}{2}+\lg 3$$ и $$\lg 19-\lg 2$$;
   2. $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt{7}}{2}$$ и $$\lg\left(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\right)$$;
   3. $$3(\lg 7-\lg 5)$$ и $$\lg 9-\frac{2}{3}\lg 8$$;
   4. $$\lg\lg\lg 50$$ и $$\lg^3(50)$$.

1) $$\frac12+\lg 3=\lg 10^{1/2}+\lg 3=\lg(3\sqrt{10})=\lg\sqrt{90},$$

$$\lg 19-\lg 2=\lg\frac{19}{2}=\lg 9{,}5.$$

Так как $$\sqrt{90}<9{,}5,$$ то

$$\frac12+\lg 3<\lg 19-\lg 2.$$

2) $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}=\frac{\lg(5\sqrt7)}{2}=\lg\sqrt{5\sqrt7},$$

$$\lg\frac{5+\sqrt7}{2}.$$

Сравним числа под логарифмами:

$$\sqrt{5\sqrt7}\approx 3{,}07,\qquad \frac{5+\sqrt7}{2}\approx 3{,}82,$$

значит

$$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}.$$

3) $$3(\lg 7-\lg 5)=3\lg\frac75=\lg\left(\frac75\right)^3=\lg\frac{343}{125},$$

$$\lg 9-\frac23\lg 8=\lg 9-\lg 8^{2/3}=\lg\frac{9}{4}.$$

Так как

$$\frac{343}{125}>\frac94,$$

то

$$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8.$$

4) Пусть $$x=\lg 50.$$ Тогда $$10<50<100,$$ значит $$1<x<2.$$

Тогда

$$\lg\lg 50=\lg x<0,$$

а

$$\lg^3 50=(\lg 50)^3=x^3>0.$$

Следовательно,

$$\lg\lg 50<\lg^3 50.$$

Ответ

1) $$\frac12+\lg 3<\lg 19-\lg 2$$; 2) $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}$$; 3) $$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8$$; 4) $$\lg\lg 50<\lg^3 50$$.