Упр.324 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Изобразить схематически график функции: 1) $$y=\lg x$$; 2) $$y=\ln x$$; 3) $$y=\log_{0,4}(x)$$; 4) $$y=\log_{\frac{1}{5}}(x)$$.
Для логарифмической функции $$y=\log_a x$$ выполняются свойства:
- область определения: $$x>0$$;
- множество значений: $$y\in \mathbb{R}$$;
- если $$a>1$$, то функция возрастает;
- если $$0<a<1$$, то функция убывает;
- график проходит через точку $$\left(1;0\right)$$ и имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.
$$y=\lg x=\log_{10}x$$
Так как $$10>1$$, функция возрастает. Для построения удобно отметить точки $$\left(1;0\right)$$, $$\left(10;1\right)$$, $$\left(0{,}1;-1\right)$$ и провести через них плавную возрастающую кривую, приближающуюся к оси $$Oy$$ при $$x\to 0+$$.
$$y=\ln x=\log_e x$$
Так как $$e>1$$, функция возрастает. График проходит через точки $$\left(1;0\right)$$ и $$\left(e;1\right)$$, при $$x\to 0+$$ стремится к прямой $$x=0$$.
$$y=\log_{0{,}4}x$$
Так как $$0<0{,}4<1$$, функция убывает. График проходит через точку $$\left(1;0\right)$$, а также через точку $$\left(0{,}4;1\right)$$; при $$x\to 0+$$ значения $$y$$ неограниченно возрастают.
$$y=\log_{\frac15}x$$
Так как $$0<\frac15<1$$, функция убывает. График проходит через точки $$\left(1;0\right)$$ и $$\left(\frac15;1\right)$$, при $$x\to 0+$$ стремится вверх вдоль оси $$Oy$$.
Ответ: графики функций $$y=\lg x$$ и $$y=\ln x$$ возрастают; графики функций $$y=\log_{0{,}4}x$$ и $$y=\log_{\frac15}x$$ убывают; все четыре графика определены при $$x>0$$, проходят через точку $$\left(1;0\right)$$ и имеют асимптоту $$x=0$$.
