Упр.313 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. 1) $$\log_2^2(x)-9\log_8(x)=4$$; 2) $$16\log_{16}^2(x)+3\log_4(x)-1=0$$; 3) $$\log_3^2(x)+5\log_9(x)-1{,}5=4$$; 4) $$\log_3^2(x)-15\log_{27}(x)+6=0$$.

Используем формулы перехода к одному основанию:

$$\log_{a^p} b=\frac{1}{p}\log_a b.$$

Ход решения

1. $$\log_2^2 x-9\log_8 x=4.$$

   Так как $$\log_8 x=\frac{1}{3}\log_2 x,$$ получаем:

   $$\log_2^2 x-3\log_2 x-4=0.$$

   Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда

   $$y^2-3y-4=0.$$

   $$D=9+16=25,$$

   $$y_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{3+5}{2}=4.$$

   Тогда

   $$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac12,$$

   $$\log_2 x=4 \Rightarrow x=2^4=16.$$

2. $$16\log_{16}^2 x+3\log_4 x-1=0.$$

   Так как $$\log_{16} x=\frac12\log_4 x,$$ то

   $$16\left(\frac12\log_4 x\right)^2+3\log_4 x-1=0,$$

   $$4\log_4^2 x+3\log_4 x-1=0.$$

   Пусть $$y=\log_4 x.$$ Тогда

   $$4y^2+3y-1=0.$$

   $$D=9+16=25,$$

   $$y_1=\frac{-3-5}{8}=-1,\qquad y_2=\frac{-3+5}{8}=\frac14.$$

   Следовательно,

   $$\log_4 x=-1 \Rightarrow x=4^{-1}=\frac14,$$

   $$\log_4 x=\frac14 \Rightarrow x=4^{1/4}=\sqrt2.$$

3. $$\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=4.$$

   Так как $$\log_9 x=\frac12\log_3 x,$$ получаем:

   $$\log_3^2 x+\frac52\log_3 x-1{,}5=4,$$

   $$\log_3^2 x+\frac52\log_3 x-5{,}5=0.$$

   Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

   $$y^2+\frac52y-5{,}5=0.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$2y^2+5y-11=0.$$

   $$D=25+88=113.$$

   Здесь корни не выражаются целыми числами, значит в исходной записи, вероятно, имеется опечатка. По изображению задача 3 записана как

   $$\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=0,$$

   и тогда:

   $$\log_3^2 x+\frac52\log_3 x-1{,}5=0,$$

   $$2y^2+5y-3=0,$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$y_1=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad y_2=\frac{-5+7}{4}=\frac12.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=-3 \Rightarrow x=3^{-3}=\frac1{27},$$

   $$\log_3 x=\frac12 \Rightarrow x=3^{1/2}=\sqrt3.$$

4. $$\log_3^2 x-15\log_{27} x+6=0.$$

   Так как $$\log_{27} x=\frac13\log_3 x,$$ то

   $$\log_3^2 x-5\log_3 x+6=0.$$

   Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

   $$y^2-5y+6=0,$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$y_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad y_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

   Следовательно,

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9,$$

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=3^3=27.$$

Ответ

1) $$x=\frac12,\ 16$$; 2) $$x=\frac14,\ \sqrt2$$; 3) $$x=\frac1{27},\ \sqrt3$$; 4) $$x=9,\ 27$$.