Упр.313 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) log^2 2(x) — 9log8(x) =4;
2) 16log^2 16(x) + 3log4(x) — 1 =0;
3) log^2 3(x) + 5log9(x) -1,5=4;
4) log^2 3(x) — 15log27(x) +6 =0.

1. $$\log_2^2 x-9\log_8 x=4$$

   Так как $$\log_8 x=\dfrac{1}{3}\log_2 x,$$ получаем:

   $$\log_2^2 x-3\log_2 x-4=0.$$

   Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда

   $$y^2-3y-4=0.$$

   $$D=3^2+4\cdot 4=25,$$

   $$y_1=\dfrac{3-5}{2}=-1,\qquad y_2=\dfrac{3+5}{2}=4.$$

   Тогда

   $$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\dfrac12,$$

   $$\log_2 x=4 \Rightarrow x=2^4=16.$$

2. $$16\log_{16}^2 x+3\log_4 x-1=0$$

   Так как $$\log_{16} x=\dfrac12\log_4 x,$$ то

   $$16\left(\dfrac12\log_4 x\right)^2+3\log_4 x-1=0,$$

   $$4\log_4^2 x+3\log_4 x-1=0.$$

   Пусть $$y=\log_4 x.$$ Тогда

   $$4y^2+3y-1=0.$$

   $$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-1)=25,$$

   $$y_1=\dfrac{-3-5}{8}=-1,\qquad y_2=\dfrac{-3+5}{8}=\dfrac14.$$

   Следовательно,

   $$\log_4 x=-1 \Rightarrow x=4^{-1}=\dfrac14,$$

   $$\log_4 x=\dfrac14 \Rightarrow x=4^{1/4}=\sqrt2.$$

3. $$\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=4$$

   Перенесём 4 в левую часть и выразим $$\log_9 x$$ через $$\log_3 x$$:

   $$\log_3^2 x+5\log_9 x-5{,}5=0,$$

   $$\log_9 x=\dfrac12\log_3 x.$$

   Тогда

   $$\log_3^2 x+\dfrac52\log_3 x-5{,}5=0.$$

   Пусть $$y=\log_3 x.$$ Получаем:

   $$2y^2+5y-11=0.$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-11)=113,$$

   $$y=\dfrac{-5\pm \sqrt{113}}{4}.$$

   Тогда

   $$x=3^{\frac{-5+\sqrt{113}}{4}} \quad \text{или} \quad x=3^{\frac{-5-\sqrt{113}}{4}}.$$

4. $$\log_3^2 x-15\log_{27} x+6=0$$

   Так как $$\log_{27} x=\dfrac13\log_3 x,$$ то

   $$\log_3^2 x-5\log_3 x+6=0.$$

   Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

   $$y^2-5y+6=0,$$

   $$D=5^2-4\cdot 6=1,$$

   $$y_1=\dfrac{5-1}{2}=2,\qquad y_2=\dfrac{5+1}{2}=3.$$

   Следовательно,

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9,$$

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=3^3=27.$$

Ответ

1) $$x=\dfrac12,\ 16$$; 2) $$x=\dfrac14,\ \sqrt2$$; 3) $$x=3^{\frac{-5+\sqrt{113}}{4}},\ 3^{\frac{-5-\sqrt{113}}{4}}$$; 4) $$x=9,\ 27$$.