Упр.299 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

эту формулу вычислить:
1) log36(2) — 1/2log1/6(3);
2) 2log35(30) + log0,2(6).

Докажем формулу:

$$\log_{a^p} b=\frac{1}{p}\log_a b.$$

По основному логарифмическому тождеству имеем:

$$a^{\log_a b}=b.$$

Возведём обе части в степень $$\frac{1}{p}$$:

$$\left(a^{\log_a b}\right)^{\frac{1}{p}}=b^{\frac{1}{p}}.$$

Тогда

$$a^{\frac{1}{p}\log_a b}=b^{\frac{1}{p}}.$$

По определению логарифма это равносильно:

$$\log_{a^p} b=\frac{1}{p}\log_a b.$$

Что и требовалось доказать.

1) Вычислим:

$$\log_{36}2-\frac{1}{2}\log_{\frac16}3.$$

Так как $$36=6^2$$ и $$\frac16=6^{-1},$$ то

$$\log_{36}2-\frac{1}{2}\log_{\frac16}3=\frac{1}{2}\log_6 2-\frac{1}{2}\log_{6^{-1}}3.$$

По доказанной формуле:

$$\log_{6^{-1}}3=-\log_6 3.$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\log_6 2-\frac{1}{2}(-\log_6 3)=\frac{1}{2}\bigl(\log_6 2+\log_6 3\bigr)=\frac{1}{2}\log_6 6=\frac{1}{2}.$$

2) Вычислим:

$$2\log_{25}30+\log_{0,2}6.$$

Так как $$25=5^2,$$ а $$0,2=\frac15=5^{-1},$$ получаем:

$$2\log_{25}30+\log_{0,2}6=2\cdot \frac{1}{2}\log_5 30+\log_{5^{-1}}6.$$

Следовательно,

$$\log_5 30-\log_5 6=\log_5\frac{30}{6}=\log_5 5=1.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{2}$$; 2) $$1$$.