Упр.299 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$a>0,\quad a\ne1,\quad b>0,\quad p\ne0,$$ то $$\log_{a^p}(b)=\frac{1}{p}\log_a(b).$$ Используя эту формулу, вычислить: 1) $$\log_{36}(2)-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{6}}(3);$$ 2) $$2\log_{3^5}(30)+\log_{0{,}2}(6).$$

Пусть $$x=\log_{a^p} b.$$ Тогда по определению логарифма

$$a^{px}=b.$$

Возведём обе части в степень $$\frac{1}{p}$$:

$$a^x=b^{\frac{1}{p}}.$$

Теперь применим определение логарифма к основанию $$a$$:

$$x=\frac{1}{p}\log_a b.$$

Значит,

$$\log_{a^p} b=\frac{1}{p}\log_a b.$$

Ответ

1) $$\log_{36}2-\frac12\log_{\frac16}3=\log_{6^2}2-\frac12\log_{6^{-1}}3=\frac12\log_6 2+\frac12\log_6 3=\frac12\log_6(2\cdot 3)=\frac12\log_6 6=\frac12.$$

2) $$2\log_{25}30+\log_{0,2}6=2\log_{5^2}30+\log_{5^{-1}}6=\frac{2}{2}\log_5 30-\log_5 6=\log_5\frac{30}{6}=\log_5 5=1.$$

Ответ: 1) $$\frac12$$; 2) $$1$$.