Упр.296 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1)

$$\frac{\log_2 24-\frac12\log_2 72}{\log_3 18-\frac13\log_3 72} = \frac{\log_2 24-\log_2 \sqrt{72}}{\log_3 18-\log_3 \sqrt[3]{72}} = \frac{\log_2 \frac{24}{\sqrt{72}}}{\log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{72}}}$$
$$= \frac{\log_2 \sqrt{\frac{24^2}{72}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{18^3}{72}}} = \frac{\log_2 \sqrt{\frac{24^2}{24\cdot 3}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{18^3}{18\cdot 4}}} = \frac{\log_2 \sqrt{\frac{24}{3}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{18^2}{4}}} = \frac{\log_2 \sqrt{8}}{\log_3 \sqrt[3]{81}}$$
$$= \frac{\log_2 2^{3/2}}{\log_3 3^{4/3}} = \frac{\frac32\log_2 2}{\frac43\log_3 3} = \frac{\frac32}{\frac43} = \frac98 = 1\frac18$$

Ответ: $$1\frac18$$

2)

$$\frac{\log_7 14-\frac13\log_7 56}{\log_6 30-\frac12\log_6 150} = \frac{\log_7 14-\log_7 \sqrt[3]{56}}{\log_6 30-\log_6 \sqrt{150}} = \frac{\log_7 \frac{14}{\sqrt[3]{56}}}{\log_6 \frac{30}{\sqrt{150}}}$$
$$= \frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{14^3}{56}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30^2}{150}}} = \frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{14^3}{14\cdot 4}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30^2}{30\cdot 5}}} = \frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{14^2}{4}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30}{5}}} = \frac{\log_7 \sqrt[3]{49}}{\log_6 \sqrt{6}}$$
$$= \frac{\log_7 7^{2/3}}{\log_6 6^{1/2}} = \frac{\frac23\log_7 7}{\frac12\log_6 6} = \frac{\frac23}{\frac12} = \frac43 = 1\frac13$$

Ответ: $$1\frac13$$

3)

$$\frac{\log_2 4+\log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20+3\log_2 2} = \frac{\log_2 2^2+\frac12\log_2(2\cdot 5)}{\log_2(2^2\cdot 5)+3} = \frac{2\log_2 2+\frac12(\log_2 2+\log_2 5)}{2\log_2 2+\log_2 5+3}$$
$$= \frac{2+\frac12(1+\log_2 5)}{2+\log_2 5+3} = \frac{\frac12(5+\log_2 5)}{5+\log_2 5} = \frac12$$

Ответ: $$\frac12$$

4)

$$\frac{3\log_7 2-\frac12\log_7 64}{4\log_5 2+\frac13\log_5 27} = \frac{3\log_7 2-\frac12\log_7 2^6}{4\log_5 2+\frac13\log_5 3^3} = \frac{3\log_7 2-3\log_7 2}{4\log_5 2+\log_5 3} = \frac{0}{4\log_5 2+\log_5 3} =0$$

Ответ: $$0$$