Упр.296 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 296. Вычислить:

1. $$\frac{\log_2 24-\frac12\log_2 72}{\log_3 18-\frac13\log_3 72}$$
   $$=\frac{\log_2 24-\log_2 \sqrt{72}}{\log_3 18-\log_3 \sqrt[3]{72}}$$
   $$=\frac{\log_2 \frac{24}{\sqrt{72}}}{\log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{72}}} =\frac{\log_2 \sqrt{\frac{24^2}{72}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{18^3}{72}}}$$
   $$=\frac{\log_2 \sqrt{\frac{24^2}{24\cdot 3}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{18^3}{18\cdot 4}}} =\frac{\log_2 \sqrt{\frac{24}{3}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{18^2}{4}}}$$
   $$=\frac{\log_2 \sqrt{8}}{\log_3 \sqrt[3]{81}} =\frac{\log_2 2^{\frac32}}{\log_3 3^{\frac43}} =\frac{\frac32\log_2 2}{\frac43\log_3 3} =\frac{\frac32}{\frac43} =\frac98=1\frac18.$$

2. $$\frac{\log_7 14-\frac13\log_7 56}{\log_6 30-\frac12\log_6 150}$$
   $$=\frac{\log_7 14-\log_7 \sqrt[3]{56}}{\log_6 30-\log_6 \sqrt{150}} =\frac{\log_7 \frac{14}{\sqrt[3]{56}}}{\log_6 \frac{30}{\sqrt{150}}}$$
   $$=\frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{14^3}{56}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30^2}{150}}} =\frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{14^3}{14\cdot 4}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30^2}{30\cdot 5}}}$$
   $$=\frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{14^2}{4}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30}{5}}} =\frac{\log_7 \sqrt[3]{49}}{\log_6 \sqrt{6}}$$
   $$=\frac{\log_7 7^{\frac23}}{\log_6 6^{\frac12}} =\frac{\frac23\log_7 7}{\frac12\log_6 6} =\frac{\frac23}{\frac12} =\frac43=1\frac13.$$

3. $$\frac{\log_2 4+\log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20+3\log_2 2}$$
   $$=\frac{\log_2 2^2+\frac12\log_2(2\cdot 5)}{\log_2(4\cdot 5)+3}$$
   $$=\frac{2\log_2 2+\frac12(\log_2 2+\log_2 5)}{2\log_2 2+\log_2 5+3}$$
   $$=\frac{2+\frac12(1+\log_2 5)}{2+\log_2 5+3} =\frac{\frac12(5+\log_2 5)}{5+\log_2 5} =\frac12.$$

4. $$\frac{3\log_7 2-\frac12\log_7 64}{4\log_5 2+\frac13\log_5 27}$$
   $$=\frac{3\log_7 2-\frac12\log_7 2^6}{4\log_5 2+\frac13\log_5 3^3}$$
   $$=\frac{3\log_7 2-3\log_7 2}{4\log_5 2+\log_5 3} =\frac{0}{4\log_5 2+\log_5 3}=0.$$

Ответ

1) $$1\frac18$$; 2) $$1\frac13$$; 3) $$\frac12$$; 4) $$0$$.