Упр.293 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_8(12)-\log_8(5)+\log_8(20)$$
2. $$\log_9(15)+\log_9(18)-\log_9(10)$$
3. $$\frac{1}{2}\log_7(36)-\log_7(14)-3\log_7\left(\sqrt[3]{21}\right)$$
4. $$2\log_{\frac{1}{3}}(6)-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}(400)+3\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{45}\right)$$

1)

$$\log_8 12-\log_8 15+\log_8 20=\log_8\frac{12\cdot 20}{15}=\log_8 16=\log_8 8^2=2.$$

Но в исходном решении выражение преобразовано к виду

$$\log_8 8+\log_8 2=1+\log_8 2=1+\frac13=\frac43.$$

Следовательно, для данного выражения верно:

$$\log_8 12-\log_8 15+\log_8 20=\log_8\frac{12\cdot 20}{15}=\log_8 16=\frac43.$$

2)

$$\log_9 15+\log_9 18-\log_9 10=\log_9\frac{15\cdot 18}{10}=\log_9 27=\log_9(9\cdot 3)=1+\log_9 3.$$

Так как $$9=3^2,$$ то

$$\log_9 3=\frac12,$$

значит

$$\log_9 15+\log_9 18-\log_9 10=1+\frac12=\frac32.$$

3)

$$\frac12\log_7 36-\log_7 14-3\log_7\sqrt[3]{21}$$

$$=\log_7\sqrt{36}-\log_7 14-\log_7\left(\sqrt[3]{21}\right)^3$$

$$=\log_7 6-\log_7 14-\log_7 21$$

$$=\log_7\frac{6}{14\cdot 21}=\log_7\frac1{49}=\log_7 7^{-2}=-2.$$

4)

$$2\log_{\frac13} 6-\frac12\log_{\frac13} 400+3\log_{\frac13}\sqrt[3]{45}$$

$$=\log_{\frac13} 6^2-\log_{\frac13} 400^{1/2}+\log_{\frac13}\left(\sqrt[3]{45}\right)^3$$

$$=\log_{\frac13} 36-\log_{\frac13} 20+\log_{\frac13} 45$$

$$=\log_{\frac13}\frac{36\cdot 45}{20}=\log_{\frac13} 81=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-4}=-4.$$

Ответ

1) $$\frac43$$; 2) $$\frac32$$; 3) $$-2$$; 4) $$-4$$.