Упр.289 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить относительно $$x$$ уравнение $$9^x+9a(1-a)\cdot 3^{x-2}-a^3$$.

Преобразуем уравнение:

$$9^x+9a(1-a)\cdot 3^{x-2}-a^3=0$$

$$3^{2x}+9a(1-a)\cdot \frac{3^x}{9}-a^3=0$$

$$3^{2x}+a(1-a)3^x-a^3=0$$

Сделаем замену:

$$t=3^x,\quad t>0.$$

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2+a(1-a)t-a^3=0.$$

Разложим на множители:

$$t^2+(a-a^2)t-a^3=(t-a^2)(t+a)=0.$$

Отсюда

$$t=a^2 \quad \text{или} \quad t=-a.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$3^x=a^2 \quad \text{или} \quad 3^x=-a.$$

Так как $$3^x>0$$, то:

• из $$3^x=a^2$$ получаем $$x=\log_3 a^2,$$ при $$a\ne 0$$;
• из $$3^x=-a$$ получаем $$x=\log_3(-a),$$ при $$a<0$$.

Если $$a=-1$$, то оба корня совпадают, так как $$a^2=-a=1.$$

Ответ:

при $$a<0,\ a\ne -1$$ $$x_1=\log_3 a^2,\quad x_2=\log_3(-a);$$

при $$a=-1$$ $$x=\log_3 1=0;$$

при $$a>0$$ $$x=\log_3 a^2.$$