Упр.289 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

9x+9a(1-a) * 3^(x-2) -a3.

Сделаем замену:

$$t=3^x.$$

Тогда уравнение

$$9^x+9a(1-a)\cdot 3^{x-2}-a^3=0$$

преобразуется к виду

$$3^{2x}+9a(1-a)\cdot \frac{3^x}{9}-a^3=0,$$

то есть

$$t^2+a(1-a)t-a^3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=a^2(1-a)^2+4a^3=a^2-2a^3+a^4+4a^3=(a+a^2)^2.$$

Тогда

$$t=\frac{-a(1-a)\pm |a+a^2|}{2}=\frac{a^2-a\pm |a+a^2|}{2}.$$

Удобнее сразу проверить корни по Виету:

$$t_1=a^2,\qquad t_2=-a.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=a^2 \quad \Rightarrow \quad x=\log_3 a^2,$$

это возможно при $$a\ne 0.$$

И

$$3^x=-a \quad \Rightarrow \quad x=\log_3(-a),$$

это возможно при $$a<0.$$

Проверим совпадение корней:

$$a^2=-a \quad \Rightarrow \quad a(a+1)=0,$$

откуда $$a=0$$ или $$a=-1.$$

При $$a=0$$ корней нет, так как тогда $$3^x=0$$ невозможно. При $$a=-1$$ оба корня совпадают.

Итак, при $$a<0,\ a\ne -1$$ получаем два корня, при $$a=-1$$ — один корень, при $$a=0$$ решений нет, при $$a>0$$ остаётся только корень из $$3^x=a^2.$$

Ответ

Если $$a<0,\ a\ne -1$$, то $$x=\log_3 a^2$$ и $$x=\log_3(-a)$$; если $$a>0$$, то $$x=\log_3 a^2$$; при $$a=-1$$ $$x=0$$; при $$a=0$$ решений нет.