Упр.288 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение: 1) $$\log_x(2x-1)$$; 2) $$\log_{x-1}(x+1)$$?

1) Для выражения $$\log_x(2x-1)$$ логарифм определён, если

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 2x-1>0.$$

Из неравенства $$2x-1>0$$ получаем $$x>\frac12.$$

Совмещая условия, имеем:

$$x>\frac12,\quad x\ne 1.$$

Значит,

$$\frac12<x<1 \quad \text{или} \quad x>1.$$

2) Для выражения $$\log_{x-1}(x+1)$$ нужно, чтобы

$$x-1>0,\quad x-1\ne 1,\quad x+1>0.$$

Отсюда:

$$x>1,\quad x\ne 2,\quad x>-1.$$

Совмещая условия, получаем:

$$x>1,\quad x\ne 2.$$

Следовательно,

$$1<x<2 \quad \text{или} \quad x>2.$$

Ответ

1) $$\frac12<x<1$$ или $$x>1$$;

2) $$1<x<2$$ или $$x>2$$.