Упр.287 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$\left(3^x+2^x\right)\left(3^x+3\cdot 2^x\right)=8\cdot 6^x$$

Раскроем скобки:

$$3^{2x}+3\cdot 6^x+6^x+3\cdot 2^{2x}=8\cdot 6^x$$

$$3^{2x}-4\cdot 6^x+3\cdot 2^{2x}=0$$

Разделим на $$2^{2x}$$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}-4\left(\frac{3}{2}\right)^x+3=0$$

Пусть $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда получаем:

$$t^2-4t+3=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0$$

$$t_1=1,\quad t_2=3$$

Тогда:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=3 \Rightarrow x=\log_{\frac{3}{2}}3$$

Ответ: $$x=0,\ \log_{\frac{3}{2}}3$$.

2) $$\left(3\cdot 5^x+2{,}5\cdot 3^x\right)\left(2\cdot 3^x-2\cdot 5^x\right)=8\cdot 15^x$$

Раскроем скобки:

$$6\cdot 15^x-6\cdot 5^{2x}+5\cdot 3^{2x}-5\cdot 15^x=8\cdot 15^x$$

$$5\cdot 3^{2x}-7\cdot 15^x-6\cdot 5^{2x}=0$$

Разделим на $$5^{2x}$$:

$$5\left(\frac{3}{5}\right)^{2x}-7\left(\frac{3}{5}\right)^x-6=0$$

Пусть $$t=\left(\frac{3}{5}\right)^x$$, тогда:

$$5t^2-7t-6=0$$

$$D=49+120=169$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 13}{10}$$

$$t_1=2,\quad t_2=-\frac{6}{10}$$

Так как $$\left(\frac{3}{5}\right)^x>0$$, значение $$t_2$$ не подходит. Значит,

$$\left(\frac{3}{5}\right)^x=2$$

$$x=\log_{\frac{3}{5}}2$$

Ответ: $$x=\log_{\frac{3}{5}}2$$.