Упр.287 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (3*5x + 2,5*3x) ( 2*3x-2*5x) = 8*15x.

1. $$\left(3^x+2^x\right)\left(3^x+3\cdot 2^x\right)=8\cdot 6^x$$

   Раскроем скобки:
   $$3^{2x}+3\cdot 6^x+6^x+3\cdot 2^{2x}=8\cdot 6^x$$

   $$3^{2x}-4\cdot 6^x+3\cdot 2^{2x}=0$$

   Разделим на $$2^{2x}$$:
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}-4\left(\frac{3}{2}\right)^x+3=0$$

   Сделаем замену:
   $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$

   Тогда получаем:
   $$t^2-4t+3=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=3$$

   1) $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$

   2) $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=3 \Rightarrow x=\log_{\frac{3}{2}}3$$

2. $$\left(3\cdot 5^x+2{,}5\cdot 3^x\right)\left(2\cdot 3^x-2\cdot 5^x\right)=8\cdot 15^x$$

   Раскроем скобки:
   $$6\cdot 15^x-6\cdot 5^{2x}+5\cdot 3^{2x}-5\cdot 15^x=8\cdot 15^x$$

   $$5\cdot 3^{2x}-7\cdot 15^x-6\cdot 5^{2x}=0$$

   Разделим на $$5^{2x}$$:
   $$5\left(\frac{3}{5}\right)^{2x}-7\left(\frac{3}{5}\right)^x-6=0$$

   Сделаем замену:
   $$t=\left(\frac{3}{5}\right)^x$$

   Тогда:
   $$5t^2-7t-6=0$$

   $$D=49+120=169$$

   $$t_1=2,\quad t_2=-\frac{6}{10}$$

   Так как $$\left(\frac{3}{5}\right)^x>0$$, значение $$t_2$$ не подходит.

   Значит,
   $$\left(\frac{3}{5}\right)^x=2$$

   $$x=\log_{\frac{3}{5}}2$$

Ответ

1) $$x=0,\ \log_{\frac{3}{2}}3$$;
2) $$x=\log_{\frac{3}{5}}2$$.