Упр.286 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$7^{2x}+7^x-12=0$$
- $$9^x-3^x-12=0$$
- $$8^{x+1}-8^{2x-1}=30$$
- $$\left(\frac{1}{9}\right)^x-5\left(\frac{1}{3}\right)^x+6=0$$
1) Сделаем замену $$7^x=t.$$ Тогда получаем квадратное уравнение
$$t^2+t-12=0.$$
Найдём корни:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-12)=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Отсюда $$t_1=3,$$ $$t_2=-4.$$
Так как $$7^x>0,$$ значение $$t=-4$$ не подходит. Тогда
$$7^x=3,$$
откуда
$$x=\log_7 3.$$
2) Сделаем замену $$3^x=t.$$ Тогда
$$t^2-t-12=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}.$$
Получаем $$t_1=4,$$ $$t_2=-3.$$
Так как $$3^x>0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит. Значит,
$$3^x=4,$$
откуда
$$x=\log_3 4.$$
3) Сделаем замену $$8^x=t.$$ Тогда
$$8t- \frac{t^2}{8}-30=0.$$
Умножим на $$8$$:
$$t^2-64t+240=0.$$
Найдём корни:
$$D=64^2-4\cdot 1\cdot 240=3136,$$
$$t_{1,2}=\frac{64\pm 56}{2}.$$
Отсюда $$t_1=60,$$ $$t_2=4.$$
Тогда
$$8^x=60 \quad \text{или} \quad 8^x=4.$$
Из первого уравнения
$$x=\log_8 60,$$
из второго:
$$8^x=4,$$
$$2^{3x}=2^2,$$
$$3x=2,$$
$$x=\frac{2}{3}.$$
4) Сделаем замену $$\left(\frac13\right)^x=t.$$ Тогда
$$t^2-5t+6=0.$$
Найдём корни:
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$
Получаем $$t_1=3,$$ $$t_2=2.$$
Тогда
$$\left(\frac13\right)^x=3 \quad \text{или} \quad \left(\frac13\right)^x=2.$$
Из первого уравнения
$$\left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^{-1},$$
значит, $$x=-1.$$
Из второго уравнения
$$x=\log_{\frac13} 2.$$
Ответ
1) $$x=\log_7 3$$; 2) $$x=\log_3 4$$; 3) $$x=\frac23,\ \log_8 60$$; 4) $$x=-1,\ \log_{\frac13} 2$$.
