Упр.283 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 283. Выяснить, при каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:
   1) $$\log_{6}(49-x^2)$$;
   2) $$\log_{7}(x^2+x-6)$$;
   3) $$\log_{\frac{1}{5}}(x^2+2x+7)$$.

1) Логарифм $$\log_6(49-x^2)$$ имеет смысл, когда его аргумент положителен:

$$49-x^2>0$$

$$x^2-49<0$$

$$(x-7)(x+7)<0$$

Отсюда

$$-7<x<7$$

2) Логарифм $$\log_7(x^2+x-6)$$ имеет смысл, когда

$$x^2+x-6>0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=1+24=25$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=2$$

Тогда

$$(x+3)(x-2)>0$$

Следовательно,

$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>2$$

3) Логарифм $$\log_{\frac15}(x^2+2x+7)$$ имеет смысл, когда

$$x^2+2x+7>0$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24<0$$

Так как $$a=1>0$$ и дискриминант отрицателен, то $$x^2+2x+7>0$$ при любом $$x$$.

Значит, логарифм определён при всех действительных значениях $$x$$.

Ответ: 1) $$-7<x<7$$; 2) $$x<-3$$ или $$x>2$$; 3) при любом $$x$$.