Упр.278 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, при каких значениях $$x$$ существует логарифм:
   а) $$\log_{\frac{1}{2}}(4-x)$$;
   б) $$\log_{0{,}2}(7-x)$$;
   в) $$\log_{6}\left(\frac{1}{1-2x}\right)$$;
   г) $$\log_{8}\left(\frac{5}{2x-1}\right)$$;
   д) $$\log_{\frac{1}{4}}(-x^2)$$;
   е) $$\log_{0{,}7}(-2x^3)$$.

Для существования логарифма необходимо, чтобы его основание было положительным и не равным $$1$$, а аргумент — положительным.

1. $$\log_{\frac12}(4-x)$$

   Требуем:

   $$4-x>0$$

   $$x<4$$

2. $$\log_{0,2}(7-x)$$

   Требуем:

   $$7-x>0$$

   $$x<7$$

3. $$\log_6\frac{1}{1-2x}$$

   Требуем:

   $$\frac{1}{1-2x}>0$$

   Так как числитель положителен, то

   $$1-2x>0$$

   $$x<\frac12$$

4. $$\log_8\frac{5}{2x-1}$$

   Требуем:

   $$\frac{5}{2x-1}>0$$

   Так как числитель положителен, то

   $$2x-1>0$$

   $$x>\frac12$$

5. $$\log_{\frac14}(-x^2)$$

   Требуем:

   $$-x^2>0$$

   Но это невозможно, так как $$x^2\ge 0$$, значит $$-x^2\le 0$$.

   Следовательно, такой логарифм не существует ни при каком действительном $$x$$.

6. $$\log_{0,7}(-2x^3)$$

   Требуем:

   $$-2x^3>0$$

   $$x^3<0$$

   $$x<0$$

Ответ

1) $$x<4$$; 2) $$x<7$$; 3) $$x<\frac12$$; 4) $$x>\frac12$$; 5) решений нет; 6) $$x<0$$.