Упр.265 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 3^|x-2| < 9; 2) 4^|x+1| > 16;
3) 2^|x-2| > 4^|x+1|;
4) 5^|x+4| < 25^|x|.

1. $$3^{|x-2|} < 9 = 3^2$$

   Так как основание $$3 > 1$$, получаем:

   $$|x-2| < 2$$

   $$-2 < x-2 < 2$$

   $$0 < x < 4$$

2. $$4^{|x+1|} > 16 = 4^2$$

   Так как основание $$4 > 1$$, получаем:

   $$|x+1| > 2$$

   $$x+1 < -2 \quad \text{или} \quad x+1 > 2$$

   $$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 1$$

3. $$2^{|x-2|} > 4^{|x+1|} = 2^{2|x+1|}$$

   Так как основание $$2 > 1$$, получаем:

   $$|x-2| > 2|x+1|$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x \ge 2$$, то

   $$x-2 > 2(x+1)$$

   $$x-2 > 2x+2$$

   $$x < -4$$

   Это невозможно при $$x \ge 2$$.

   2) Если $$-1 \le x < 2$$, то

   $$2-x > 2(x+1)$$

   $$2-x > 2x+2$$

   $$-3x > 0$$

   $$x < 0$$

   Значит, $$-1 \le x < 0$$.

   3) Если $$x < -1$$, то

   $$2-x > 2(-x-1)$$

   $$2-x > -2x-2$$

   $$x > -4$$

   Значит, $$-4 < x < -1$$.

   Объединяя, получаем:

   $$-4 < x < 0$$

4. $$5^{|x+4|} < 25^{|x|} = 5^{2|x|}$$

   Так как основание $$5 > 1$$, получаем:

   $$|x+4| < 2|x|$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x \ge 0$$, то

   $$x+4 < 2x$$

   $$x > 4$$

   2) Если $$x < 0$$, то $$|x|=-x$$, и

   $$|x+4| < -2x$$

   Если $$x \ge -4$$, то

   $$x+4 < -2x$$

   $$3x < -4$$

   $$x < -\frac{4}{3}$$

   Если $$x < -4$$, то

   $$-(x+4) < -2x$$

   $$x < 4$$

   Это верно при всех $$x < -4$$.

   Итак, получаем:

   $$x < -\frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x > 4$$

Ответ

1) $$x \in (0;4)$$

2) $$x \in (-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$

3) $$x \in (-4;0)$$

4) $$x \in \left(-\infty;-\frac{4}{3}\right)\cup(4;+\infty)$$