Упр.265 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. 1) $$3^{|x-2|}<9$$; 2) $$4^{|x+1|}>16$$; 3) $$2^{|x-2|}>4^{|x+1|}$$; 4) $$5^{|x+4|}<25^{|x|}$$.

1) $$3^{|x-2|}<9=3^2$$

Так как функция $$3^t$$ возрастает, получаем:

$$|x-2|<2$$

$$-2<x-2<2$$

$$0<x<4$$

2) $$4^{|x+1|}>16=4^2$$

Так как функция $$4^t$$ возрастает, получаем:

$$|x+1|>2$$

$$x+1<-2 \quad \text{или} \quad x+1>2$$

$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>1$$

3) $$2^{|x-2|}>4^{|x+1|}$$

Преобразуем правую часть:

$$2^{|x-2|}>2^{2|x+1|}$$

Следовательно,

$$|x-2|>2|x+1|$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge -1$$, то $$|x+1|=x+1$$.

• При $$x\ge 2$$: $$x-2>2(x+1)$$, откуда $$x<-4$$, что невозможно.
• При $$-1\le x<2$$: $$2-x>2(x+1)$$, значит $$x<0$$.

Получаем $$-1\le x<0$$.

Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-(x+1)$$.

Тогда

$$|x-2|>-2x-2$$

При $$x<-1$$ имеем $$|x-2|=2-x$$, поэтому

$$2-x>-2x-2$$

$$x>-4$$

Значит, $$-4<x\le -1$$.

Объединяя, получаем:

$$-4<x<0$$

4) $$5^{|x+4|}<25^{|x|}$$

Преобразуем правую часть:

$$5^{|x+4|}<5^{2|x|}$$

Следовательно,

$$|x+4|<2|x|$$

Возведём в квадрат:

$$(x+4)^2<4x^2$$

$$x^2+8x+16<4x^2$$

$$3x^2-8x-16>0$$

Найдём корни уравнения $$3x^2-8x-16=0$$:

$$D=64+192=256$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm16}{6}$$

$$x_1=-\frac{4}{3}, \quad x_2=4$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$3x^2-8x-16>0$$

при

$$x<-\frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x>4$$

Ответ:

1) $$x\in(0;4)$$;

2) $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$;

3) $$x\in(-4;0)$$;

4) $$x\in\left(-\infty;-\frac{4}{3}\right)\cup(4;+\infty)$$.