Упр.264 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (0,2^(x+0,5))/корень 5=5*0,04x;
2) 4*3x — 9*2x= 5*3^x/2 * 2^x/2;
3) 2*4x-3*10x — 5*25x =0;
4) 4*9x+12x-3*16x=0.

1. $$\frac{0{,}2^{x+0{,}5}}{\sqrt{5}}=5\cdot 0{,}04^x$$
   $$0{,}2=\frac15,\quad 0{,}04=\frac1{25},\quad \sqrt5=5^{1/2}$$
   $$\left(\frac15\right)^{x+0{,}5}\cdot \left(\frac15\right)^{-0{,}5}=5\cdot \left(\frac1{25}\right)^x$$
   $$\left(\frac15\right)^{x+1}=\left(\frac15\right)^{2x-1}$$
   $$x+1=2x-1$$
   $$x=2$$
2. $$4\cdot 3^x-9\cdot 2^x=5\cdot 3^{x/2}\cdot 2^{x/2}$$
   $$4\cdot \frac{3^x}{2^x}-9=5\cdot \frac{3^{x/2}}{2^{x/2}}$$
   $$4\left(\frac32\right)^x-5\left(\frac32\right)^{x/2}-9=0$$
   Пусть $$y=\left(\frac32\right)^{x/2}$$, тогда
   $$4y^2-5y-9=0$$
   $$D=25+144=169$$
   $$y_1=\frac{5+13}{8}=\frac94,\quad y_2=\frac{5-13}{8}=-1$$
   Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\left(\frac32\right)^{x/2}>0$$.
   Тогда
   $$\left(\frac32\right)^{x/2}=\frac94=\left(\frac32\right)^2$$
   $$\frac{x}{2}=2$$
   $$x=4$$
3. $$2\cdot 4^x-3\cdot 10^x-5\cdot 25^x=0$$
   $$2\cdot \frac{4^x}{25^x}-3\cdot \frac{10^x}{25^x}-5=0$$
   $$2\left(\frac25\right)^{2x}-3\left(\frac25\right)^x-5=0$$
   Пусть $$y=\left(\frac25\right)^x$$, тогда
   $$2y^2-3y-5=0$$
   $$D=9+40=49$$
   $$y_1=\frac{3+7}{4}=\frac52,\quad y_2=\frac{3-7}{4}=-1$$
   Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\left(\frac25\right)^x>0$$.
   Тогда
   $$\left(\frac25\right)^x=\frac52=\left(\frac25\right)^{-1}$$
   $$x=-1$$
4. $$4\cdot 9^x+12^x-3\cdot 16^x=0$$
   $$4\cdot \frac{9^x}{16^x}+\frac{12^x}{16^x}-3=0$$
   $$4\left(\frac34\right)^{2x}+\left(\frac34\right)^x-3=0$$
   Пусть $$y=\left(\frac34\right)^x$$, тогда
   $$4y^2+y-3=0$$
   $$D=1+48=49$$
   $$y_1=\frac{-1+7}{8}=\frac34,\quad y_2=\frac{-1-7}{8}=-1$$
   Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\left(\frac34\right)^x>0$$.
   Тогда
   $$\left(\frac34\right)^x=\frac34$$
   $$x=1$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=4$$; 3) $$x=-1$$; 4) $$x=1$$.