Упр.264 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   
   1) $$\frac{0{,}2^{x+0{,}5}}{\sqrt{5}}=5\cdot 0{,}04^x$$;
   
   2) $$4\cdot 3^x-9\cdot 2^x=5\cdot 3^{x/2}\cdot 2^{x/2}$$;
   
   3) $$2\cdot 4^x-3\cdot 10^x-5\cdot 25^x=0$$;
   
   4) $$4\cdot 9^x+12^x-3\cdot 16^x=0$$.

1) $$\frac{0{,}2^{x+0{,}5}}{\sqrt5}=5\cdot 0{,}04^x$$

Представим числа в виде степеней числа $$\frac15$$:

$$\left(\frac15\right)^{x+0{,}5} : \left(\frac15\right)^{0{,}5}=5\cdot \left(\frac1{25}\right)^x$$

$$\left(\frac15\right)^{x+0{,}5-0{,}5}=\left(\frac15\right)^{-1}\cdot \left(\frac15\right)^{2x}$$

$$\left(\frac15\right)^{x+1}=\left(\frac15\right)^{2x-1}$$

Следовательно,

$$x+1=2x-1,$$

$$x=2.$$

2) $$4\cdot 3^x-9\cdot 2^x=5\cdot 3^{x/2}\cdot 2^{x/2}$$

Разделим обе части на $$2^x$$:

$$4\left(\frac32\right)^x-9=5\left(\frac32\right)^{x/2}.$$

Сделаем замену:

$$t=\left(\frac32\right)^{x/2}, \quad t>0.$$

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$4t^2-5t-9=0.$$

$$D=25+144=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{8}.$$

$$t_1=\frac94,\quad t_2=-1.$$

Так как $$t>0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$\left(\frac32\right)^{x/2}=\frac94=\left(\frac32\right)^2,$$

откуда

$$\frac{x}{2}=2,\quad x=4.$$

3) $$2\cdot 4^x-3\cdot 10^x-5\cdot 25^x=0$$

Разделим на $$25^x$$:

$$2\left(\frac{4}{25}\right)^x-3\left(\frac{10}{25}\right)^x-5=0.$$

Так как

$$\frac{4}{25}=\left(\frac25\right)^2,\qquad \frac{10}{25}=\frac25,$$

получаем:

$$2\left(\frac25\right)^{2x}-3\left(\frac25\right)^x-5=0.$$

Сделаем замену:

$$t=\left(\frac25\right)^x,\quad t>0.$$

Тогда

$$2t^2-3t-5=0.$$

$$D=9+40=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4}.$$

$$t_1=\frac52,\quad t_2=-1.$$

Так как $$t>0,$$ то $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$\left(\frac25\right)^x=\frac52=\left(\frac25\right)^{-1},$$

откуда

$$x=-1.$$

4) $$4\cdot 9^x+12^x-3\cdot 16^x=0$$

Разделим на $$16^x$$:

$$4\left(\frac{9}{16}\right)^x+\left(\frac{12}{16}\right)^x-3=0.$$

Так как

$$\frac{9}{16}=\left(\frac34\right)^2,\qquad \frac{12}{16}=\frac34,$$

получаем:

$$4\left(\frac34\right)^{2x}+\left(\frac34\right)^x-3=0.$$

Сделаем замену:

$$t=\left(\frac34\right)^x,\quad t>0.$$

Тогда

$$4t^2+t-3=0.$$

$$D=1+48=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}.$$

$$t_1=\frac34,\quad t_2=-1.$$

Так как $$t>0,$$ то $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$\left(\frac34\right)^x=\frac34,$$

откуда

$$x=1.$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=4$$; 3) $$x=-1$$; 4) $$x=1$$.