Упр.263 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) y=2^(x+|x|);
2) y= |3^(|x|)-3.

1) Рассмотрим функцию $$y=2^{x+|x|}.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=2^{x-x}=2^0=1.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=2^{x+x}=2^{2x}.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2^{2x}, & x\ge 0. \end{cases} $$

Для построения отметим несколько точек: $$x=0,\ y=1;\quad x=1,\ y=4;\quad x=2,\ y=16.$$

График состоит из горизонтального луча $$y=1$$ при $$x<0$$ и ветви показательной функции $$y=2^{2x}$$ при $$x\ge 0,$$ проходящей через точку $$\left(0,1\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\left|3^{|x|}-3\right|.$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=\left|3^{|-x|}-3\right|=\left|3^{|x|}-3\right|=y(x).$$

Поэтому достаточно рассмотреть случай $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и

$$y=\left|3^x-3\right|.$$

Теперь учитываем знак выражения внутри модуля:

если $$0\le x<1,$$ то $$3^x<3,$$ значит

$$y=3-3^x;$$

если $$x\ge 1,$$ то $$3^x\ge 3,$$ значит

$$y=3^x-3.$$

С учётом чётности получаем симметричный график относительно оси $$Oy$$:

$$ y= \begin{cases} 3-3^{|x|}, & |x|<1,\\ 3^{|x|}-3, & |x|\ge 1. \end{cases} $$

Опорные точки: $$x=0,\ y=2;\quad x=\pm1,\ y=0;\quad x=\pm2,\ y=6.$$

График проходит через точки $$(-1,0),\ (0,2),\ (1,0)$$ и симметричен относительно оси $$Oy.$$

Ответ

1) $$y= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2^{2x}, & x\ge 0. \end{cases}$$

2) $$y=\left|3^{|x|}-3\right|,$$ график чётный, с точками $$(-1,0),\ (0,2),\ (1,0).$$