Упр.262 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   1. $$2^{x-y}=128,\quad \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1}=\frac{1}{8};$$
   2. $$2^x\cdot5^y=10,\quad 5^y-2^x=3.$$

1) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 2^{x-y}=128,\\ \left(\dfrac12\right)^{x-2y+1}=\dfrac18. \end{cases}$$

Представим числа в виде степеней двойки:

$$128=2^7,\qquad \dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3.$$

Тогда

$$\begin{cases} x-y=7,\\ x-2y+1=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$x=7+y$$. Подставим во второе:

$$7+y-2y+1=3,$$

$$-y=-5,\qquad y=5.$$

Тогда

$$x=7+5=12.$$

Следовательно, $$\,(x;y)=(12;5).$$

2) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 2^x\cdot 5^y=10,\\ 5^y-2^x=3. \end{cases}$$

Обозначим $$2^x=a,\; 5^y=b$$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} ab=10,\\ b-a=3. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$b=a+3$$. Подставим в первое:

$$a(a+3)=10,$$

$$a^2+3a-10=0.$$

Разложим на множители:

$$(a+5)(a-2)=0.$$

Отсюда $$a=-5$$ или $$a=2$$. Так как $$a=2^x>0$$, то $$a=2$$.

Тогда

$$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

$$5^y=a+3=5 \Rightarrow y=1.$$

Следовательно, $$\,(x;y)=(1;1).$$

Ответ

1) $$(12;5)$$; 2) $$(1;1)$$.