Упр.261 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1) $$8{,}4^{\frac{x-3}{x^2+1}}<1$$

Так как $$8{,}4>1,$$ то неравенство равносильно

$$\frac{x-3}{x^2+1}<0.$$

Знаменатель $$x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ значит нужно, чтобы

$$x-3<0.$$

Отсюда

$$x<3.$$

Ответ: $$x<3.$$

2) $$2^{x^2}\cdot 5^{x^2}<10^{-3}\cdot (10^{3-x})^2$$

Преобразуем степени:

$$10^{x^2}<10^{-3}\cdot 10^{6-2x}=10^{3-2x}.$$

Так как основание $$10>1,$$ получаем

$$x^2<3-2x,$$

$$x^2+2x-3<0.$$

Разложим на множители:

$$(x+3)(x-1)<0.$$

Следовательно,

$$-3<x<1.$$

Ответ: $$-3<x<1.$$

3) $$\frac{4^x-2^{x+1}+8}{2^{1-x}}<8^x$$

Так как $$2^{1-x}>0,$$ умножим обе части на $$2^{1-x}:$$

$$4^x-2^{x+1}+8<8^x\cdot 2^{1-x}.$$

Перепишем через основание $$2:$$

$$2^{2x}-2\cdot 2^x+8<2^{3x}\cdot 2^{1-x}=2\cdot 2^{2x}.$$

Тогда

$$2^{2x}+2\cdot 2^x-8>0.$$

Сделаем замену $$t=2^x,$$ где $$t>0.$$ Получим

$$t^2+2t-8>0,$$

$$(t+4)(t-2)>0.$$

С учётом $$t>0$$ подходит только

$$t>2.$$

Значит,

$$2^x>2,$$

откуда

$$x>1.$$

Ответ: $$x>1.$$

4) $$\frac{1}{3^x+5}\le \frac{1}{3^{x+1}-1}$$

Область допустимых значений:

$$3^x+5>0,$$

$$3^{x+1}-1>0.$$

Так как числители равны и положительны, то при положительных знаменателях имеем

$$3^x+5\ge 3^{x+1}-1.$$

Тогда

$$3^x+5\ge 3\cdot 3^x-1,$$

$$6\ge 2\cdot 3^x,$$

$$3^x\le 3,$$

$$x\le 1.$$

Из условия существования правой дроби:

$$3^{x+1}-1>0,$$

$$3^{x+1}>1,$$

$$x+1>0,$$

$$x>-1.$$

Совмещая, получаем

$$-1<x\le 1.$$

Ответ: $$-1<x\le 1.$$