Упр.261 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 261. Решить неравенство:

Подробный ответ

$$8{,}4^{\frac{x-3}{x^2+1}}<1$$
Так как $$8{,}4>1$$, то неравенство равносильно:
$$\frac{x-3}{x^2+1}<0$$
Знаменатель $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, значит нужно, чтобы числитель был отрицательным:
$$x-3<0$$
$$x<3$$
$$2^{x^2}\cdot 5^{x^2}<10^{-3}\cdot (10^{3-x})^2$$
Преобразуем левую и правую части:
$$10^{x^2}<10^{-3}\cdot 10^{6-2x}$$
$$10^{x^2}<10^{3-2x}$$
Так как основание $$10>1$$, сравниваем показатели:
$$x^2<3-2x$$
$$x^2+2x-3<0$$
$$ (x+3)(x-1)<0 $$
Отсюда:
$$-3<x<1$$
$$\frac{4^x-2^{x+1}+8}{2^{1-x}}<8^x$$
Так как $$2^{1-x}>0$$, умножим обе части на $$2^{1-x}$$:
$$4^x-2^{x+1}+8<8^x\cdot 2^{1-x}$$
Перепишем через основание $$2$$:
$$2^{2x}-2\cdot 2^x+8<2^{3x}\cdot 2\cdot 2^{-x}$$
$$2^{2x}-2\cdot 2^x+8<2\cdot 2^{2x}$$
$$2^{2x}+2\cdot 2^x-8>0$$
Сделаем замену $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$t^2+2t-8>0$$
$$ (t+4)(t-2)>0 $$
С учётом $$t>0$$ подходит только:
$$t>2$$
$$2^x>2$$
$$x>1$$
$$\frac{1}{3^x+5}\le \frac{1}{3^{x+1}-1}$$
Область допустимых значений:
$$3^x+5>0$$, $$3^{x+1}-1>0$$
Второе условие даёт:
$$3^{x+1}>1$$
$$x+1>0$$
$$x>-1$$
Так как на ОДЗ знаменатели положительны, умножим неравенство на $$\left(3^x+5\right)\left(3^{x+1}-1\right)$$:
$$3^{x+1}-1\le 3^x+5$$
$$3^{x+1}-3^x\le 6$$
$$3^x(3-1)\le 6$$
$$2\cdot 3^x\le 6$$
$$3^x\le 3$$
$$x\le 1$$
Совмещая с ОДЗ, получаем:
$$-1<x\le 1$$