Упр.260 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2^{x+4}+2^{x+2}=5^{x+1}+3\cdot5^x$$
2. $$5^{2x}-7^x-5^{2x}\cdot17+7^x\cdot17=0$$
3. $$2^{x^2-1}-3^{x^2}=3^{x^2-1}-2^{x^2+2}$$
4. $$3\cdot4^x+\frac{1}{3}\cdot9^{x+2}=6\cdot4^{x+1}-\frac{1}{2}\cdot9^{x+1}$$

1) $$2^{x+4}+2^{x+2}=5^{x+1}+3\cdot 5^x$$

$$2^x\cdot 2^4+2^x\cdot 2^2=5^x\cdot 5+3\cdot 5^x$$

$$2^x(16+4)=5^x(5+3)$$

$$20\cdot 2^x=8\cdot 5^x$$

$$\frac{2^x}{5^x}=\frac{8}{20}$$

$$\left(\frac25\right)^x=\frac25$$

Следовательно, $$x=1.$$

Ответ: $$1$$

2) $$5^{2x}-7^x-5^{2x}\cdot 17+7^x\cdot 17=0$$

$$5^{2x}(1-17)+7^x(-1+17)=0$$

$$-16\cdot 5^{2x}+16\cdot 7^x=0$$

$$5^{2x}=7^x$$

$$\left(5^2\right)^x=7^x$$

$$25^x=7^x$$

Отсюда $$x=0.$$

Ответ: $$0$$

3) $$2^{x^2-1}-3^{x^2}=3^{x^2-1}-2^{x^2+2}$$

$$2^{x^2-1}+2^{x^2+2}=3^{x^2-1}+3^{x^2}$$

$$2^{x^2-1}(1+2^3)=3^{x^2-1}(1+3)$$

$$2^{x^2-1}\cdot 9=3^{x^2-1}\cdot 4$$

$$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}}=\frac49$$

$$\left(\frac23\right)^{x^2-1}=\frac49=\left(\frac23\right)^2$$

Значит, $$x^2-1=2,$$ откуда $$x^2=3,$$

$$x=\pm \sqrt3.$$

Ответ: $$\pm \sqrt3$$

4) $$3\cdot 4^x+\frac13\cdot 9^{x+2}=6\cdot 4^{x+1}-\frac12\cdot 9^{x+1}$$

$$3\cdot 4^x+\frac13\cdot 9^x\cdot 9^2=6\cdot 4^x\cdot 4-\frac12\cdot 9^x\cdot 9$$

$$3\cdot 4^x+27\cdot 9^x=24\cdot 4^x-\frac92\cdot 9^x$$

$$3\cdot 4^x-24\cdot 4^x=-\frac92\cdot 9^x-27\cdot 9^x$$

$$-21\cdot 4^x=-\frac{63}{2}\cdot 9^x$$

$$\frac{4^x}{9^x}=\frac{63}{42}=\frac32$$

$$\left(\frac49\right)^x=\frac32$$

$$\left(\frac32\right)^{-2x}=\frac32$$

Следовательно, $$-2x=1,$$ откуда $$x=-\frac12.$$

Ответ: $$-\frac12$$