Упр.26 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 26. В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен R1 Найти радиусы R2, R3, …, Rn, … остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма R1 + 2 (R2 + R3 + … + Rn + …) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 26 1111

Подробный ответ

Рассмотрим две соседние окружности с центрами $O_n$ и $O_{n+1}$ и радиусами $R_n$ и $R_{n+1}$. Пусть они касаются сторон угла в точках $A_n$ и $A_{n+1}$.

Тогда

$$O_nA_n=R_n,\qquad O_{n+1}A_{n+1}=R_{n+1}.$$

Опустим из точки $O_{n+1}$ перпендикуляр на отрезок $O_nA_n$ и обозначим основание через $B$. Тогда

$$O_nB=O_nA_n-A_nB=R_n-R_{n+1}.$$

Так как центры вписанных окружностей лежат на биссектрисе угла $60^\circ$, то

$$\angle O_nO_{n+1}B=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $O_nO_{n+1}B$ имеем

$$O_nB=\frac12\,O_nO_{n+1}=\frac12(R_n+R_{n+1}).$$

Следовательно,

$$R_n-R_{n+1}=\frac12(R_n+R_{n+1}).$$

Отсюда

$$2R_n-2R_{n+1}=R_n+R_{n+1},$$

$$R_n=3R_{n+1},\qquad R_{n+1}=\frac13R_n.$$

Значит, радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем

$$q=\frac13.$$

Тогда

$$R_n=R_1\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac{R_1}{3^{\,n-1}}.$$

Найдём сумму всех радиусов, кроме первого:

$$R_2+R_3+\cdots=\frac{R_1/3}{1-\frac13}=\frac{R_1}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник, образованный вершиной угла и центром первой окружности. Центр первой окружности лежит на биссектрисе, поэтому расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно

$$\frac{R_1}{\sin 30^\circ}=2R_1.$$

С другой стороны, это расстояние равно сумме радиуса первой окружности и удвоенной суммы радиусов всех остальных окружностей:

$$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=R_1+2\cdot\frac{R_1}{2}=2R_1.$$

Тем самым требуемое равенство доказано.