Упр.26 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- В угол, равный $$60^\circ$$, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен $$R_1$$. Найти радиусы $$R_2, R_3, \ldots, R_n, \ldots$$ остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма $$R_1+2(R_2+R_3+\ldots+R_n+\ldots)$$ равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
Рассмотрим две соседние окружности с радиусами $$R_n$$ и $$R_{n+1}$$. Их центры лежат на биссектрисе угла $$60^\circ$$, а точки касания с одной из сторон угла обозначим через $$A_n$$ и $$A_{n+1}$$.
Тогда
$$O_nA_n=R_n,\qquad O_{n+1}A_{n+1}=R_{n+1}.$$
Опустим из центра $$O_{n+1}$$ перпендикуляр на отрезок $$O_nA_n$$ и обозначим основание через $$B$$. Тогда
$$O_nB=O_nA_n-A_nB=R_n-R_{n+1}.$$
Так как центры окружностей лежат на биссектрисе угла, то угол между прямой $$O_nO_{n+1}$$ и стороной угла равен $$30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$O_nO_{n+1}B$$ имеем
$$O_nB=\frac12\,O_nO_{n+1}=\frac12\,(R_n+R_{n+1}).$$
Следовательно,
$$R_n-R_{n+1}=\frac12\,(R_n+R_{n+1}).$$
Отсюда
$$2R_n-2R_{n+1}=R_n+R_{n+1},$$
$$R_n=3R_{n+1},$$
то есть
$$\frac{R_{n+1}}{R_n}=\frac13.$$
Значит, радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
$$q=\frac13.$$
Тогда
$$R_n=R_1\left(\frac13\right)^{n-1}.$$
Теперь найдём расстояние от центра первой окружности до вершины угла. Пусть это расстояние равно $$d$$. Тогда
$$d=R_1+2(R_2+R_3+\cdots).$$
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
$$R_2+R_3+\cdots=\frac{R_2}{1-q}=\frac{R_1/3}{1-1/3}=\frac{R_1}{2}.$$
Следовательно,
$$d=R_1+2\cdot\frac{R_1}{2}=2R_1.$$
Итак,
$$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=2R_1,$$
что и требовалось доказать.
Ответ: $$R_n=R_1\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac{R_1}{3^{\,n-1}}$$, $$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=2R_1.$$
