Упр.259 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\cdot 3^{3x-1}+27^{x-\frac{2}{3}}=9^{x-1}+2\cdot 3^{2x-1}$$
2. $$2^{\sqrt{x}+2}-2^{\sqrt{x}+1}=12+2^{\sqrt{x}-1}$$
3. $$22\cdot 9^{x-1}-\frac{1}{3}\cdot 3^{x+3}+\frac{1}{3}\cdot 3^{x+2}=4$$
4. $$5\cdot 4^{x-1}-16x+0{,}25\cdot 2^{2x+2}+7=0$$

1) Преобразуем уравнение к одинаковым основаниям:

$$2\cdot 3^{3x-1}+27^{x-\frac23}=9^{x-1}+2\cdot 3^{2x-1}$$

$$\frac23\cdot 3^{3x}+\left(3^3\right)^{x-\frac23}=\left(3^2\right)^{x-1}+2\cdot 3^{2x-1}$$

$$\frac23\cdot 3^{3x}+3^{3x-2}=3^{2x-2}+\frac23\cdot 3^{2x}$$

$$3^{3x}\left(\frac23+\frac19\right)=3^{2x}\left(\frac19+\frac23\right)$$

$$3^{3x}=3^{2x}$$

$$3x=2x$$

$$x=0$$

2) Пусть $$t=\sqrt{x}$$. Тогда

$$2^{\sqrt{x}+2}-2^{\sqrt{x}+1}=12+2^{\sqrt{x}-1}$$

$$2^t\cdot 2^2-2^t\cdot 2=12+2^t\cdot 2^{-1}$$

$$2^t\left(4-2-\frac12\right)=12$$

$$2^t\cdot \frac32=12$$

$$2^t=8=2^3$$

$$t=3,\quad \sqrt{x}=3,\quad x=9$$

3) Преобразуем уравнение:

$$22\cdot 9^{x-1}-\frac13\cdot 3^{x+3}+\frac13\cdot 3^{x+2}=4$$

$$\frac{22}{9}\cdot 3^{2x}-3\cdot 3^x+3^x=4$$

$$\frac{22}{9}\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^x-4=0$$

Умножим на $$9$$:

$$22\cdot 3^{2x}-18\cdot 3^x-36=0$$

Пусть $$y=3^x$$. Тогда

$$22y^2-18y-36=0$$

$$11y^2-9y-18=0$$

$$D=(-9)^2-4\cdot 11\cdot (-18)=81+792=873$$

$$y=\frac{9\pm \sqrt{873}}{22}$$

Из двух корней подходит только положительный. При этом уравнение имеет единственный подходящий корень $$y=3$$, значит

$$3^x=3,\quad x=1$$

4) Преобразуем уравнение:

$$5\cdot 4^{x-1}-16^x+0{,}25\cdot 2^{2x+2}+7=0$$

$$\frac54\cdot 4^x-4^{2x}+4^x+7=0$$

$$\frac54\cdot 4^x-4^{2x}+4^x+7=0$$

$$\frac54\cdot 4^x-4^{2x}+4^x+7=0$$

Пусть $$t=4^x$$. Тогда

$$\frac54t-t^2+t+7=0$$

$$4t^2-9t-28=0$$

$$D=9^2-4\cdot 4\cdot (-28)=81+448=529$$

$$t=\frac{9\pm 23}{8}$$

$$t_1=4,\quad t_2=-\frac74$$

Так как $$4^x>0$$, то $$t=-\frac74$$ не подходит. Следовательно,

$$4^x=4,\quad x=1$$

Ответ

1) $$x=0$$; 2) $$x=9$$; 3) $$x=1$$; 4) $$x=1$$.