Упр.259 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 2^((корень x) + 2) — 2^((корень x) + 1) = 12 + 2^((корень x) — 1) ;
3) 22*9^(x-1) — 1/3*3^(x+3) +1/3*3^(x+2) =4;
4) 5*4^(x-1) -16x + 0,25 * 2^(2x+2) +7=0

1. $$2\cdot 3^{3x-1}+27^{x-\frac23}=9^{x-1}+2\cdot 3^{2x-1}$$

   Преобразуем степени:
   $$2\cdot 3^{3x}\cdot \frac13+3^{3x}\cdot \frac19=3^{2x}\cdot \frac19+2\cdot 3^{2x}\cdot \frac13$$

   $$3^{3x}\left(\frac23+\frac19\right)=3^{2x}\left(\frac19+\frac23\right)$$

   $$3^{3x}=3^{2x}$$
   значит,
   $$3x=2x,$$
   откуда
   $$x=0.$$

2. $$2^{\sqrt{x}+2}-2^{\sqrt{x}+1}=12+2^{\sqrt{x}-1}$$

   Вынесем общий множитель:
   $$2^{\sqrt{x}}\left(2^2-2^1-2^{-1}\right)=12$$

   $$2^{\sqrt{x}}\left(4-2-\frac12\right)=12$$
   $$2^{\sqrt{x}}\cdot \frac32=12$$
   $$2^{\sqrt{x}}=8=2^3$$

   Тогда
   $$\sqrt{x}=3,$$
   откуда
   $$x=9.$$

3. $$22\cdot 9^{x-1}-\frac13\cdot 3^{x+3}+\frac13\cdot 3^{x+2}=4$$

   Перепишем через основание $$3$$:
   $$\frac{22}{9}\cdot 3^{2x}-3\cdot 3^x+3^x\cdot 3=4$$

   $$\frac{22}{9}\cdot 3^{2x}-6\cdot 3^x-4=0$$

   Сделаем замену $$3^x=t$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$\frac{22}{9}t^2-6t-4=0$$

   Умножим на $$9$$:
   $$22t^2-54t-36=0$$

   $$D=54^2-4\cdot 22\cdot (-36)=6084$$
   $$\sqrt{D}=78$$

   $$t=\frac{54\pm 78}{44}$$
   $$t_1=3,\quad t_2=-\frac{6}{11}$$

   Так как $$t>0$$, подходит только $$t=3$$. Тогда
   $$3^x=3,$$
   откуда
   $$x=1.$$

4. $$5\cdot 4^{x-1}-16^x+0{,}25\cdot 2^{2x+2}+7=0$$

   Преобразуем:
   $$5\cdot \frac14\cdot 4^x-4^{2x}+\frac14\cdot 2^2\cdot 2^{2x}+7=0$$

   $$\frac54\cdot 4^x-4^{2x}+4^x+7=0$$
   $$\frac54\cdot 4^x-4^{2x}+4^x+7=0$$

   Сделаем замену $$4^x=t$$, тогда $$t>0$$:
   $$\frac54t-t^2+t+7=0$$

   $$4t^2-9t-28=0$$

   $$D=9^2-4\cdot 4\cdot (-28)=529$$
   $$\sqrt{D}=23$$

   $$t=\frac{9\pm 23}{8}$$
   $$t_1=4,\quad t_2=-\frac74$$

   Подходит только $$t=4$$. Тогда
   $$4^x=4,$$
   откуда
   $$x=1.$$

Ответ

1) $$x=0$$; 2) $$x=9$$; 3) $$x=1$$; 4) $$x=1$$.