Упр.258 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

258. 1) 0,6x *(25-9)^(x2-12)= (27/125)3;
2) 16* корень (0,25^(5-x/4)) = 2^ корень (x+1)

1. $$0{,}6^x\cdot\left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12}=\left(\frac{27}{125}\right)^3$$

   Представим всё в виде степеней числа $$\frac35$$:

   $$ \left(\frac35\right)^x\cdot\left(\frac35\right)^{-2(x^2-12)}=\left(\frac35\right)^9 $$

   $$ \left(\frac35\right)^{x-2x^2+24}=\left(\frac35\right)^9 $$

   Тогда показатели равны:

   $$ x-2x^2+24=9 $$
   $$ 2x^2-x-15=0 $$

   $$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-15)=121 $$
   $$ x=\frac{1\pm 11}{4} $$
   $$ x_1=-\frac52,\quad x_2=3 $$

2. $$16\sqrt{0{,}25^{\,5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}}$$

   Запишем левую часть через основание $$2$$:

   $$ 16\sqrt{0{,}25^{\,5-\frac{x}{4}}} =2^4\cdot\left(\frac14\right)^{\frac{5-\frac{x}{4}}{2}} =2^4\cdot 2^{-2\left(5-\frac{x}{4}\right)} =2^{\frac{x}{2}-6} $$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$ 2^{\frac{x}{2}-6}=2^{\sqrt{x+1}} $$
   $$ \frac{x}{2}-6=\sqrt{x+1} $$

   Область определения: $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$.

   Возведём в квадрат:

   $$ \left(\frac{x}{2}-6\right)^2=x+1 $$
   $$ x^2-24x+144=4x+4 $$
   $$ x^2-28x+140=0 $$
   $$ D=28^2-4\cdot 140=384=64\cdot 6 $$
   $$ x=\frac{28\pm 8\sqrt6}{2}=14\pm 4\sqrt6 $$

   Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ

1) $$x=-\frac52,\ 3$$
2) $$x=14-4\sqrt6,\ 14+4\sqrt6$$