Упр.258 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение (258—260).
- 1) $$0{,}6^x\cdot\left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12}=\left(\frac{27}{125}\right)^3$$; 2) $$\sqrt[16]{0{,}25^{5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}}$$
1) $$0{,}6^x\cdot\left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12}=\left(\frac{27}{125}\right)^3$$
Представим всё в виде степеней числа $$\frac35$$:
$$\left(\frac35\right)^x\cdot\left(\frac53\right)^{2(x^2-12)}=\left(\frac35\right)^9$$
$$\left(\frac35\right)^x\cdot\left(\frac35\right)^{-2(x^2-12)}=\left(\frac35\right)^9$$
$$\left(\frac35\right)^{x-2x^2+24}=\left(\frac35\right)^9$$
Тогда
$$x-2x^2+24=9$$
$$2x^2-x-15=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-15)=121$$
$$x=\frac{1\pm 11}{4}$$
$$x_1=-\frac52,\quad x_2=3$$
2) $$16\sqrt{0{,}25^{\,5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}}$$
Так как $$16=2^4$$ и $$0{,}25=\frac14=2^{-2}$$, получаем:
$$2^4\cdot\sqrt{\left(2^{-2}\right)^{5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}}$$
$$2^4\cdot 2^{-\frac{5-\frac{x}{4}}{1}}?$$
Упростим аккуратно:
$$\sqrt{0{,}25^{\,5-\frac{x}{4}}}=0{,}25^{\frac{5-\frac{x}{4}}{2}}=\left(2^{-2}\right)^{\frac{5-\frac{x}{4}}{2}}=2^{-5+\frac{x}{4}}$$
Тогда уравнение принимает вид
$$2^{4-5+\frac{x}{4}}=2^{\sqrt{x+1}}$$
$$2^{\frac{x}{4}-1}=2^{\sqrt{x+1}}$$
Следовательно,
$$\frac{x}{4}-1=\sqrt{x+1}$$
Область допустимых значений: $$x+1\ge 0$$, а также $$\frac{x}{4}-1\ge 0$$, значит $$x\ge 4$$.
Возведём в квадрат:
$$\left(\frac{x}{4}-1\right)^2=x+1$$
$$\frac{x^2}{16}-\frac{x}{2}+1=x+1$$
$$x^2-24x=0$$
$$x(x-24)=0$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=24$$.
Ответ: 1) $$x=-\frac52,\ 3$$; 2) $$x=24$$.
