Упр.257 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=3x-1$$;
2) $$y=3^{x-1}$$;
3) $$y=2^{2-x}+3$$.
1) $$y=3^x-1$$
Рассмотрим функцию $$y=3^x$$. Её график проходит через точки $$\left(0;1\right)$$, $$\left(1;3\right)$$, $$\left(2;9\right)$$ и является возрастающим, так как $$3>1$$.
График функции $$y=3^x-1$$ получаем из графика $$y=3^x$$ сдвигом вниз на 1 единицу. Поэтому характерные точки переходят в
$$\left(0;1\right)\to\left(0;0\right),\quad \left(1;3\right)\to\left(1;2\right),\quad \left(2;9\right)\to\left(2;8\right).$$
Асимптота графика: $$y=-1$$.
2) $$y=3^{x-1}$$
Это график функции $$y=3^x$$, сдвинутый вправо на 1 единицу. Поэтому точки переходят в
$$\left(0;1\right)\to\left(1;1\right),\quad \left(1;3\right)\to\left(2;3\right),\quad \left(2;9\right)\to\left(3;9\right).$$
График остаётся возрастающим, область определения: $$x\in\mathbb{R}$$, множество значений: $$y>0$$.
3) $$y=2^{2-x}+3$$
Преобразуем выражение:
$$y=2^{2-x}+3=\left(\frac12\right)^{x-2}+3.$$
Рассмотрим функцию $$y=\left(\frac12\right)^x$$. Она убывает, так как $$0<\frac12<1$$. Для неё характерные точки:
$$\left(-3;8\right),\ \left(-2;4\right),\ \left(-1;2\right),\ \left(0;1\right).$$
График функции $$y=\left(\frac12\right)^{x-2}+3$$ получаем сдвигом графика $$y=\left(\frac12\right)^x$$ на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Тогда точки переходят в
$$\left(-3;8\right)\to\left(-1;11\right),\quad \left(-2;4\right)\to\left(0;7\right),\quad \left(-1;2\right)\to\left(1;5\right),\quad \left(0;1\right)\to\left(2;4\right).$$
Горизонтальная асимптота: $$y=3$$.
Ответ: графики получаются указанными сдвигами; для пункта 3 удобно использовать запись $$y=\left(\frac12\right)^{x-2}+3$$.
