Упр.252 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$5^{2x}-5^x-600=0$$
2. $$9^x-3^x-6=0$$
3. $$3^x+9^{x-1}-810=0$$
4. $$4^x+2^{x+1}-80=0$$

1) $$5^{2x}-5^x-600=0$$

Сделаем замену: $$5^x=t$$, тогда получим

$$t^2-t-600=0$$

Разложим на множители:

$$\left(t-25\right)\left(t+24\right)=0$$

Отсюда $$t_1=25$$, $$t_2=-24$$. Так как $$5^x>0$$, значение $$t=-24$$ не подходит.

Тогда $$5^x=25=5^2$$, значит, $$x=2$$.

2) $$9^x-3^x-6=0$$

Преобразуем:

$$3^{2x}-3^x-6=0$$

Сделаем замену: $$3^x=t$$, тогда

$$t^2-t-6=0$$

Разложим на множители:

$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0$$

Отсюда $$t_1=3$$, $$t_2=-2$$. Так как $$3^x>0$$, значение $$t=-2$$ не подходит.

Тогда $$3^x=3=3^1$$, значит, $$x=1$$.

3) $$3^x+9^{x-1}-810=0$$

Преобразуем:

$$3^x+\frac{1}{9}\left(3^x\right)^2-810=0$$

Сделаем замену: $$3^x=t$$, тогда

$$t+\frac{1}{9}t^2-810=0$$

Умножим на $$9$$:

$$t^2+9t-7290=0$$

Разложим на множители:

$$\left(t-81\right)\left(t+90\right)=0$$

Отсюда $$t_1=81$$, $$t_2=-90$$. Так как $$3^x>0$$, значение $$t=-90$$ не подходит.

Тогда $$3^x=81=3^4$$, значит, $$x=4$$.

4) $$4^x+2^{x+1}-80=0$$

Преобразуем:

$$2^{2x}+2\cdot 2^x-80=0$$

Сделаем замену: $$2^x=t$$, тогда

$$t^2+2t-80=0$$

Разложим на множители:

$$\left(t-8\right)\left(t+10\right)=0$$

Отсюда $$t_1=8$$, $$t_2=-10$$. Так как $$2^x>0$$, значение $$t=-10$$ не подходит.

Тогда $$2^x=8=2^3$$, значит, $$x=3$$.

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x=4$$; 4) $$x=3$$.