Упр.252 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2)9x — 3х — 6 = 0;
3) 3x + 9^(х-1) — 810 = 0;
4) 4х + 2^(х + 1) — 80 = 0.

1. $$5^{2x}-5^x-600=0$$

   Сделаем замену: $$t=5^x$$. Тогда получаем

   $$t^2-t-600=0$$

   $$D=1+2400=2401$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 49}{2}$$

   $$t_1=25,\quad t_2=-24$$

   Так как $$5^x>0$$, значение $$t=-24$$ не подходит. Тогда

   $$5^x=25=5^2$$

   $$x=2$$

2. $$9^x-3^x-6=0$$

   Представим $$9^x$$ как $$3^{2x}$$ и сделаем замену: $$t=3^x$$. Тогда

   $$t^2-t-6=0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0$$

   $$t_1=3,\quad t_2=-2$$

   Так как $$3^x>0$$, значение $$t=-2$$ не подходит. Получаем

   $$3^x=3=3^1$$

   $$x=1$$

3. $$3^x+9^{x-1}-810=0$$

   Преобразуем:

   $$9^{x-1}=\frac{9^x}{9}=\frac{3^{2x}}{9}=\frac{(3^x)^2}{9}$$

   Сделаем замену $$t=3^x$$. Тогда

   $$t+\frac{t^2}{9}-810=0$$

   Умножим на $$9$$:

   $$t^2+9t-7290=0$$

   $$D=9^2+4\cdot 7290=29241$$

   $$t_{1,2}=\frac{-9\pm 171}{2}$$

   $$t_1=81,\quad t_2=-90$$

   Так как $$3^x>0$$, значение $$t=-90$$ не подходит. Тогда

   $$3^x=81=3^4$$

   $$x=4$$

4. $$4^x+2^{x+1}-80=0$$

   Представим $$4^x$$ как $$2^{2x}$$:

   $$2^{2x}+2\cdot 2^x-80=0$$

   Сделаем замену $$t=2^x$$. Тогда

   $$t^2+2t-80=0$$

   $$\left(t-8\right)\left(t+10\right)=0$$

   $$t_1=8,\quad t_2=-10$$

   Так как $$2^x>0$$, значение $$t=-10$$ не подходит. Получаем

   $$2^x=8=2^3$$

   $$x=3$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x=4$$; 4) $$x=3$$.