Упр.249 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- В каком промежутке находятся значения функции при $$x\in[-1;2]$$: 1) $$y=5^x$$; 2) $$y=5^{-x}$$?
1) Рассмотрим функцию $$y=5^x.$$
Так как $$5>1,$$ функция возрастает на всей области определения. Поэтому на отрезке $$[-1;2]$$ наименьшее значение она принимает при $$x=-1,$$ а наибольшее — при $$x=2.$$
$$y_{\min}=5^{-1}=\frac{1}{5}, \qquad y_{\max}=5^2=25$$
Следовательно, $$y \in \left[\frac{1}{5};\,25\right].$$
2) Рассмотрим функцию $$y=5^{-x}=\left(\frac{1}{5}\right)^x.$$
Так как $$0<\frac{1}{5}<1,$$ функция убывает на всей области определения. Значит, на отрезке $$[-1;2]$$ наибольшее значение она принимает при $$x=-1,$$ а наименьшее — при $$x=2.$$
$$y_{\max}=5^{-(-1)}=5^1=5, \qquad y_{\min}=5^{-2}=\frac{1}{25}$$
Следовательно, $$y \in \left[\frac{1}{25};\,5\right].$$
Ответ: 1) $$\left[\frac{1}{5};\,25\right]$$; 2) $$\left[\frac{1}{25};\,5\right].$$
