Упр.247 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сравнить с единицей число:

1. $$2^{-\sqrt{5}}$$;
2. $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}$$;
3. $$\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5}-2}$$;
4. $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{8}-3}$$.

Сравним каждое число с единицей, используя правило: если $$a>1$$ и $$x>0,$$ то $$a^x>1,$$ а если $$0<a<1$$ и $$x>0,$$ то $$a^x<1.$$ Если показатель отрицательный, знак неравенства меняется на противоположный.

1. $$2^{-\sqrt5}$$

   Так как $$2>1$$ и $$-\sqrt5<0,$$ то

   $$2^{-\sqrt5}<1.$$

2. $$\left(\frac12\right)^{\sqrt3}$$

   Так как $$0<\frac12<1$$ и $$\sqrt3>0,$$ то

   $$\left(\frac12\right)^{\sqrt3}<1.$$

3. $$\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt5-2}$$

   Имеем $$\frac{\pi}{4}<1,$$ так как $$\pi<4.$$ Кроме того, $$\sqrt5>2,$$ значит $$\sqrt5-2>0.$$ Тогда

   $$\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt5-2}<1.$$

4. $$\left(\frac13\right)^{\sqrt8-3}$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ а $$\sqrt8<3,$$ то $$\sqrt8-3<0.$$ Следовательно,

   $$\left(\frac13\right)^{\sqrt8-3}>1.$$

Ответ: 1) $$2^{-\sqrt5}<1$$; 2) $$\left(\frac12\right)^{\sqrt3}<1$$; 3) $$\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt5-2}<1$$; 4) $$\left(\frac13\right)^{\sqrt8-3}>1$$.