Упр.245 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}(5^x)^y=5^{21},\\5^x\cdot5^y=5^{10},\\3^x>3^y.\end{cases}$$

2. $$\begin{cases}(0{,}2^y)^x=0{,}008,\\0{,}4^y=0{,}4^{3{,}5-x},\\2^x\cdot0{,}5^y>1.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} (5^x)^y=5^{21},\\ 5^x\cdot 5^y=5^{10},\\ 3^x>3^y. \end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases} 5^{xy}=5^{21},\\ 5^{x+y}=5^{10},\\ x>y. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} xy=21,\\ x+y=10,\\ x>y. \end{cases}$$

Выразим $$x$$ через $$y$$:

$$x=10-y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$y(10-y)=21,$$

$$y^2-10y+21=0,$$

$$(y-3)(y-7)=0.$$

Получаем $$y=3$$ или $$y=7$$. Условию $$x>y$$ соответствует только пара $$x=7,\ y=3$$.

2) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} (0{,}2^x)^y=0{,}008,\\ (0{,}4)^y=(0{,}4)^{3{,}5-x},\\ 2^x\cdot 0{,}5^y>1. \end{cases}$$

Преобразуем:

$$\begin{cases} 0{,}2^{xy}=0{,}2^3,\\ y=3{,}5-x,\\ 2^x\cdot 2^{-y}>1. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} xy=3,\\ y=3{,}5-x,\\ x-y>0. \end{cases}$$

Подставим $$y=3{,}5-x$$ в уравнение $$xy=3$$:

$$x(3{,}5-x)=3,$$

$$x^2-3{,}5x+3=0.$$

Умножим на $$2$$:

$$2x^2-7x+6=0,$$

$$(2x-3)(x-2)=0.$$

Тогда $$x=\frac{3}{2}$$ или $$x=2$$. Условию $$x>y$$ подходит только $$x=2$$, тогда

$$y=3{,}5-2=1{,}5.$$

Ответ

1) $$\left(7;\,3\right)$$; 2) $$\left(2;\,1{,}5\right)$$.