Упр.243 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

5x-5y=100,
5^(x-1) + 5^(y-1) = 30;
2) система
2x — 9*3y =7,
2x*3y=8/9
3) система
16y-16x=24,
16^(x+y) = 256;
4) система
3x + 2^(x+y+1) =5,
3^(x+1) -2^(x+y) =1;
5) система
5^(x+1) * 3y=75,
3x*5^(y-1)=3;
6) 3x*2y=4,
3y*2x=9.

Подробный ответ

Пусть $$u=5^x$$ и $$z=5^y$$. Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} u-z=100,\\ \dfrac{u}{5}+\dfrac{z}{5}=30. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$u+z=150$$. Решаем систему:
$$ \begin{cases} u-z=100,\\ u+z=150. \end{cases} $$
Складываем уравнения: $$2u=250$$, значит $$u=125$$. Тогда $$z=25$$.
Следовательно, $$5^x=125=5^3$$, откуда $$x=3$$, и $$5^y=25=5^2$$, откуда $$y=2$$.
Пусть $$u=2^x$$ и $$z=3^y$$. Тогда
$$ \begin{cases} u-9z=7,\\ uz=\dfrac{8}{9}. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$u=7+9z$$. Подставим во второе:
$$ z(7+9z)=\dfrac{8}{9} $$
$$ 81z^2+63z-8=0. $$
$$ D=63^2-4\cdot 81\cdot(-8)=6561=81^2. $$
$$ z=\frac{-63\pm 81}{162}. $$
Получаем $$z_1=-\dfrac{8}{9}$$ и $$z_2=\dfrac{1}{9}$$. Так как $$z=3^y>0$$, подходит только $$z=\dfrac{1}{9}$$.
Тогда $$u=7+9\cdot \dfrac{1}{9}=8$$.
Значит, $$2^x=8=2^3$$, откуда $$x=3$$, а $$3^y=\dfrac{1}{9}=3^{-2}$$, откуда $$y=-2$$.
Пусть $$u=16^x$$ и $$z=16^y$$. Тогда
$$ \begin{cases} z-u=24,\\ uz=256. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$z=24+u$$. Подставим во второе:
$$ u(24+u)=256 $$
$$ u^2+24u-256=0. $$
$$ D=24^2+4\cdot 256=1600,\quad \sqrt D=40. $$
$$ u=\frac{-24\pm 40}{2}. $$
Получаем $$u_1=-32$$ и $$u_2=8$$. Так как $$u=16^x>0$$, подходит только $$u=8$$.
Тогда $$z=24+8=32$$.
Следовательно, $$16^x=8=2^3$$, то есть $$2^{4x}=2^3$$, откуда $$4x=3$$ и $$x=\dfrac34$$.
А $$16^y=32=2^5$$, значит $$2^{4y}=2^5$$, откуда $$4y=5$$ и $$y=\dfrac54$$.
Пусть $$u=3^x$$ и $$z=2^{x+y}$$. Тогда
$$ \begin{cases} u+z=5,\\ 3u-z=1. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$u=5-z$$. Подставим во второе:
$$ 3(5-z)-z=1 $$
$$ 15-4z=1,\quad z=2. $$
Тогда $$u=5-2=3$$.
Следовательно, $$3^x=3$$, откуда $$x=1$$, и $$2^{x+y}=2$$, значит $$x+y=1$$. При $$x=1$$ получаем $$y=0$$.
Перемножим уравнения системы:
$$ \left(5^{x+1}\cdot 3^y\right)\left(3^x\cdot 5^{y-1}\right)=75\cdot 3 $$
$$ 15^{x+y}=225=15^2, $$
значит $$x+y=2$$.
Из второго уравнения:
$$ 3^x\cdot 5^{y-1}=3 $$
$$ 3^x\cdot \frac{5^y}{5}=3 $$
$$ 3^x\cdot 5^y=15. $$
Так как $$x+y=2$$, то $$x=2-y$$. Подставим:
$$ 3^{2-y}\cdot 5^y=15 $$
$$ 9\left(\frac{5}{3}\right)^y=15 $$
$$ \left(\frac{5}{3}\right)^y=\frac{5}{3}, $$
откуда $$y=1$$, а тогда $$x=1$$.
Перемножим уравнения системы:
$$ \left(3^x\cdot 2^y\right)\left(3^y\cdot 2^x\right)=4\cdot 9 $$
$$ 6^{x+y}=36=6^2, $$
значит $$x+y=2$$.
Тогда $$y=2-x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ 3^x\cdot 2^{2-x}=4 $$
$$ 3^x\cdot \frac{4}{2^x}=4 $$
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^x=1, $$
откуда $$x=0$$, а значит $$y=2$$.