Упр.241 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Система $$\begin{cases}4^x\cdot 2^y=32,\\3^{8x+1}=3^{3y}.\end{cases}$$
2. Система $$\begin{cases}3^{3x-2y}=81,\\3^{6x}\cdot 3^y=27.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32,\\ 3^{8x+1} = 3^{3y}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$4^x \cdot 2^y = 32 \\ 2^{2x}\cdot 2^y = 2^5 \\ 2^{2x+y} = 2^5 \\ 2x+y=5.$$

Из второго уравнения:

$$3^{8x+1}=3^{3y} \\ 8x+1=3y.$$

Получаем систему линейных уравнений:

$$\begin{cases} 2x+y=5,\\ 8x+1=3y. \end{cases}$$

Выразим $$y$$ из первого уравнения:

$$y=5-2x.$$

Подставим во второе:

$$8x+1=3(5-2x) \\ 8x+1=15-6x \\ 14x=14 \\ x=1.$$

Тогда

$$y=5-2\cdot 1=3.$$

Ответ: $$(1;3).$$

2) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 3^{3x-2y}=81,\\ 3^{6x}\cdot 3^y=27. \end{cases}$$

Преобразуем правые части к степеням числа $$3$$:

$$81=3^4,\qquad 27=3^3.$$

Тогда

$$\begin{cases} 3x-2y=4,\\ 6x+y=3. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=3-6x.$$

Подставим в первое:

$$3x-2(3-6x)=4 \\ 3x-6+12x=4 \\ 15x=10 \\ x=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$y=3-6\cdot \frac{2}{3}=3-4=-1.$$

Ответ: $$\left(\frac{2}{3};-1\right).$$