Упр.241 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

4x*2y=32,
3^*(8x+1)=3^3y;
2) система
3^(3x-2y) =81,
3^6x*3y=27.

Решение

1. $$ \begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32, \\ 3^{8x+1} = 3^{3y}. \end{cases} $$

   Преобразуем первое уравнение:

   $$ 4^x \cdot 2^y = 32 \\ 2^{2x}\cdot 2^y = 2^5 \\ 2^{2x+y} = 2^5 \\ 2x+y=5. $$

   Преобразуем второе уравнение:

   $$ 3^{8x+1} = 3^{3y} \\ 8x+1=3y. $$

   Решим систему:

   $$ \begin{cases} 2x+y=5, \\ 8x+1=3y. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$ y=5-2x. $$

   Подставим во второе:

   $$ 8x+1=3(5-2x) \\ 8x+1=15-6x \\ 14x=14 \\ x=1. $$

   Тогда

   $$ y=5-2\cdot 1=3. $$

   Ответ: $$(1;3).$$

2. $$ \begin{cases} 3^{3x-2y}=81, \\ 3^{6x}\cdot 3^y=27. \end{cases} $$

   Преобразуем правые части:

   $$ 81=3^4,\qquad 27=3^3. $$

   Тогда система равносильна:

   $$ \begin{cases} 3x-2y=4, \\ 6x+y=3. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ y=3-6x. $$

   Подставим в первое:

   $$ 3x-2(3-6x)=4 \\ 3x-6+12x=4 \\ 15x=10 \\ x=\frac{2}{3}. $$

   Тогда

   $$ y=3-6\cdot \frac{2}{3}=3-4=-1. $$

   Ответ: $$\left(\frac{2}{3};-1\right).$$