Упр.240 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Решить систему уравнений (240—243).
1) $$\begin{cases}2x-y=1,\\5^{x+y}=25;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}x-y=2,\\3^{x^2+y}=\frac{1}{9};\end{cases}$$
3) $$\begin{cases}x+y=1,\\2^{x-y}=8;\end{cases}$$
4) $$\begin{cases}x+2y=3,\\3^{x-y}=81.\end{cases}$$
1) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2x-1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5^{x+y}=25=5^2,$$
значит
$$x+y=2.$$
Тогда
$$x+(2x-1)=2,$$
$$3x=3,$$
$$x=1.$$
Найдём $$y$$:
$$y=2\cdot 1-1=1.$$
Ответ: $$(1;1).$$
2) Из первого уравнения:
$$x-y=2 \Rightarrow x=y+2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3^{x^2+y}=\frac{1}{9}=3^{-2},$$
значит
$$x^2+y=-2.$$
Получаем:
$$(y+2)^2+y=-2,$$
$$y^2+4y+4+y+2=0,$$
$$y^2+5y+6=0,$$
$$(y+2)(y+3)=0.$$
Отсюда $$y=-2$$ или $$y=-3.$$
Тогда
$$x=y+2,$$
поэтому $$x=0$$ или $$x=-1.$$
Ответ: $$(0;-2),\;(-1;-3).$$
3) Из первого уравнения:
$$y=1-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2^{x+y}=8=2^3,$$
значит
$$x+y=3.$$
Тогда
$$x+(1-x)=3,$$
$$2x=4,$$
$$x=2,$$
$$y=1-2=-1.$$
Ответ: $$(2;-1).$$
4) Из первого уравнения:
$$x=3-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3^{x-y}=81=3^4,$$
значит
$$x-y=4.$$
Тогда
$$3-2y-y=4,$$
$$-3y=1,$$
$$y=-\frac{1}{3}.$$
Найдём $$x$$:
$$x=3-2\left(-\frac{1}{3}\right)=3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}.$$
Ответ: $$\left(\frac{11}{3};-\frac{1}{3}\right).$$
