Упр.24 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\lim_{n\to\infty}\frac{3-2^n}{2^n}$$; 2) $$\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+2}+2}{3^n}$$.

Используем тот факт, что при $$n \to \infty$$ величины вида $$\frac{1}{a^n}$$ стремятся к нулю, если $$|a|>1$$.

Ход решения

1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{3-2^n}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{2^n}-1\right).$$

   Так как $$\frac{3}{2^n}\to 0$$ при $$n\to\infty$$, то

   $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{2^n}-1\right)=0-1=-1.$$

2. $$\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+2}+2}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3^{n+2}}{3^n}+\frac{2}{3^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(9+\frac{2}{3^n}\right).$$

   Поскольку $$\frac{2}{3^n}\to 0$$, получаем

   $$\lim_{n\to\infty}\left(9+\frac{2}{3^n}\right)=9.$$

3. $$\lim_{n\to\infty}\frac{(5^n+1)^2}{5^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5^{2n}+2\cdot 5^n+1}{5^{2n}}$$

   $$=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{5^n}+\frac{1}{5^{2n}}\right).$$

   Так как $$\frac{2}{5^n}\to 0$$ и $$\frac{1}{5^{2n}}\to 0$$, то

   $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{5^n}+\frac{1}{5^{2n}}\right)=1.$$

Ответ

$$-1;\ 9;\ 1.$$