Упр.238 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$11^{\sqrt{x+6}}>11x$$;
2. $$0{,}3^{\sqrt{30-x}}>0{,}3x$$.

1) Рассмотрим неравенство $$11^{\sqrt{x+6}} > 11^x.$$

Так как основание $$11>1,$$ сравниваем показатели:

$$\sqrt{x+6} > x.$$

Учитываем область определения:

$$x+6 \ge 0.$$

Возведём неравенство в квадрат:

$$x+6 > x^2,$$

$$x^2-x-6 < 0,$$

$$\left(x+2\right)\left(x-3\right) < 0.$$

Отсюда

$$-2 < x < 3.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x \ge -6.$$

Пересечение даёт:

$$-6 \le x < 3.$$

2) Рассмотрим неравенство $$0{,}3^{\sqrt{30-x}} > 0{,}3^x.$$

Так как $$0<0{,}3<1,$$ сравниваем показатели с противоположным знаком:

$$\sqrt{30-x} < x.$$

Учитываем область определения и знак правой части:

$$30-x \ge 0,\qquad x>0.$$

Возведём неравенство в квадрат:

$$30-x < x^2,$$

$$x^2+x-30 > 0,$$

$$\left(x+6\right)\left(x-5\right) > 0.$$

Отсюда

$$x<-6 \quad \text{или} \quad x>5.$$

С учётом условий $$x>0$$ и $$x\le 30$$ получаем:

$$5<x\le 30.$$

Ответ

1) $$-6 \le x < 3$$; 2) $$5 < x \le 30$$.