Упр.238 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 11^(корень (x+6)) > 11x;
2) 0,3^(корень (30-x)) > 0,3x.

1. $$11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$$

   Так как основание $$11>1$$, сравним показатели:

   $$\sqrt{x+6} > x$$

   Учитываем область определения:

   $$x+6 \ge 0,\quad x \ge 0$$

   Возводим неравенство в квадрат:

   $$x+6 > x^2$$

   $$x^2-x-6 < 0$$

   $$ (x+2)(x-3) < 0 $$

   Отсюда:

   $$-2 < x < 3$$

   С учётом $$x \ge 0$$ получаем:

   $$0 \le x < 3$$

   Но при $$-6 \le x \le 0$$ исходное неравенство тоже выполняется, так как правая часть $$11^x \le 1$$, а левая часть $$11^{\sqrt{x+6}} \ge 11^0=1$$. Поэтому объединяем с областью определения:

   $$-6 < x < 3$$

2. $$0{,}3^{\sqrt{30-x}} > 0{,}3^x$$

   Так как $$0<0{,}3<1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:

   $$\sqrt{30-x} < x$$

   Учитываем область определения и знак правой части:

   $$30-x \ge 0,\quad x>0$$

   Возводим в квадрат:

   $$30-x < x^2$$

   $$x^2+x-30 > 0$$

   $$ (x+6)(x-5) > 0 $$

   Отсюда:

   $$x<-6 \quad \text{или} \quad x>5$$

   С учётом $$x>0$$ и $$x\le 30$$ получаем:

   $$5<x\le 30$$

Ответ

1) $$-6<x<3$$; 2) $$5<x\le 30$$.